《分角定理》的历史意义

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《分角定理》的历史意义
《分角定理》：三角形中的一角被一直线内分（或外分），又分对边为两线段时，
则：两线段之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角的
两条不重合边之正比。（还可转化出五种不同变化表述）如图.。△ABC，
AC内分∠BAD，则BC/CD=（sin∠BAC/sin∠CAD）×(AB/AD)；
AD外分∠BAC，则CD/BD=(sin∠CAD/sin∠BAD)×（AC/AB）。
《分角定理》有三个引理：
⑴当两分角相等时，《角平分线定理》是《分角定理》的第一引理。
⑵当角的两边相等时，等腰三角形顶角的分角线，使所分两线段与两分角正弦成正比，为第二引理。
⑶当两分边相等时，三角形的中线，使两分角正弦与两邻边成反比，为第三引理。
（一）《分角定理》的历史意义的确很小，因为以前没有《分角定理》也照样解题。但以前要应用《分角定理》所表达的边角关系，必须用定理经几步推算，自然用时用思。如今有了《分角定理》，一步写出这种边角关系，自然省时省力。聪明的人们会舍近求远吗？这种省时省力的科学方法，不知有何历史意义。
特别是以前人们不懂《分角定理》，不会自觉立即看出这种边角关系，就无法进一步分析，致使解题良机，失之交臂。
如1992年全国初中联赛几何题。
已知：△ABC，AB=AC①，D在BC上，E在AD上，
且∠BED=∠A=2∠CED②。求证：BD=2CD③。见图3。
，
此题用添线，有很多证法。但不添线，用三角函数，至今无人解出。如用《分角定理》的第二引理，立即看出∠A的两分角正弦sin∠BAD/sin∠CAD=BD/CD=2，只要证明sin∠BAD=2sin∠CAD④就行了。题已明示可用三角函数，但无人看出这个契机，十多年解此题留下缺陷。
现证明：由∠ABE+∠BAE=∠BED=②∠A=∠BAE+∠CAE→∠ABE=∠CAE⑤，
又由∠BAE+∠CAE=∠A=②2∠CED=2∠CAE+2∠ACE→∠BAE=∠CAE+2∠ACE⑥。
由BE分∠ABD→AE/DE=（sin∠ABE/sin∠DBE）·（AB/BD）→
AE/AB=（sin∠ABE/sin∠DBE）·（DE/BD）⑦
由（sin∠BAE-sin∠CAE）/sin∠A=[⑥sin(∠CAE+2∠ACE)-sin∠CAE]/2cos(A/2)sin(A/2)
=2cos(∠CAE+∠ACE) sin∠ACE/2cos(∠CAE+∠ACE) sin(A/2)=sin∠ACE/sin(A/2) [在△ACE中，由《正弦定理 》及②]=AE/AC=AE/AB⑦代入=（sin∠ABE/sin∠DBE）·（DE/BD）=（sin∠ABE⑤/sin∠DBE）·
（sin∠DBE/sin∠BED②）=sin∠CAE/sin∠A，∴sin∠BAD=2sin∠CAD，由④，∴BD=2CD。
证明中心只列一式。
十多年来，只有此唯一解法（不添线，用三角函数，只列一式），按如此要求，还有两个最简解法。
又如2004年高考试题，全国卷Ⅱ中的第17题（理）。
已知：锐角三角形ABC中，sin(A+B)=3/5①,sin(A-B)=1/5②。
(1)求证：tanA=2tanB。(2)设AB=3，求AB边上的高。
解：此题似无分角线，但由（A-B）明示，须延长BA至D，连CD，使
CD=CB→∠D=∠B→∠ACD=∠A－∠B，用《分角定理》的第二引理
立即看出两分边AB/AD=两分角正弦sin∠BCA/sin∠ACD=[因sin∠BCA= sin(A+B)]（3/5）÷（1/5）=3①，又由tanA=2tanB暗示，须作CE⊥AB于E，→BE=DE→由①（BE+AE）/（BE-AE）=3→BE=2AE→
tanA=CE/AE=2×（CE/2AE）=2×（CE/BE）=2×tanB。(1)证毕。
解(2)：由AB=3→AD=1，BE=2，AE=1=AD，AC为中线，一分角正弦sin∠ACD=1/5已知，用《分角定理》的第三引理，(CE/CD)=(sin∠ACD/sin∠ACE)=(1/5)÷（AE/AC）=(1/5)÷（1/AC）→AC×CD=5CE。
设CD=CB=a,CA=b,CE=h, →ab=5h,此时暗示要另找a,b,h的关系式。图明示，a×a=4＋h×h,b×b=1＋h×h,→a×a＋b×b=5＋2h×h,及由ab=5h暗示，联想余弦定理→AB×AB=a×a＋b×b－2abcos∠ACB[由sin∠ACB=3/5→cos∠ACB=4/5]→9=5＋2h×h－2×5h×4/5→2h×h－8h－4=0→h=2＋√6。
解出高考试题，只用初中知识，出题人看不出可用《分角定理》的第二第三引理的契机，致使解此题
留下漏洞。
由上看出《分角定理》能省时省力，明示解题契机，分角线在几何图形中常见，故其实用价值总是有的。
（二）《分角定理》是中学数学史上最后发现的一个次基础定理，为何叫次基础定理，因为它被基础定理《正弦定理》证明，它又能证明很多几何定理，如《塞瓦定理》《梅涅劳斯定理》《圆内接四边形边与对角线定理》《蝴蝶定理》《费马小定理》《三弦定理》《张角定理》等。如果否定“最后”“次基础定理”的意义，请举出反证。
（三）《分角定理》是中国人近千百年来首次发现的有如此巨大功能的中学数学次基础定理。以往大家都认为中学数学定理已被外国人发现尽了，如今我的这个创新发现，可以改写这个历史事实。如果否定这个事实，请举出反证。
（四）《分角定理》能对1999年全国高中联赛加试几何题，已知：四边形ABCD，AC平分∠BAD，F为AC上任一点，BF交DC于E，DF交BC于G。求证：∠CAG=∠CAE。探索出一题有千解（不添线，只列一式），在数学史上也属首创。如果否定这个事实，请举出论证。为何有千解？因为此题只有一个限制条件，却有很多条分角线。只有懂得《分角定理》，才能出发现。
（证明一）设AG交BF于H，AE交DF于M，∠BAC=∠DAC=α，∠CAG=∠1，∠CAE=∠2，∠BAG=∠3，∠DAE=∠4，（分）表《分角定理》，（正）表《正弦定理》，※表对顶角，○表互补角。由（分）→
(sin∠1/sin∠2)=(FH/EF)·(AE/AH)= (BH/AH)·(AE/DE)·(DE/EF)·(FH/BH)= (sin∠3/sin∠ABF)·(sin∠ADC/sin∠4)·(sin∠DFE※/sin∠CDF)×(sin∠FGA/sin∠BGA)·(sin∠FBC/sin∠BFG※)→
(sin∠1sin∠4)/ (sin∠2sin∠3)= (sin∠FGA/sin∠ABF)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(sin∠FBC/sin∠CDF)=(sin∠FGA/AF)·(AF/sin∠ABF)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(sin∠FBC/CF)·(CF/sin∠CDF)= (sin∠AFG※/AG)·(AB/sin∠AFB○)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(sin∠BFC○/BC)·(CD/sin∠CFD※)= (AB/AG)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(CD/BC)=(sin∠BGA/sin∠ABC)·(sin∠ADC/sin∠BGA)·(CD/BC) = (sinα/sin∠ABC)·(sin∠ADC/sinα)·(CD/BC)= (BC/AC)·(AC/CD)·(CD/BC)=1→即（sin∠1sin∠4）/（sin∠2sin∠3）=1⑴。
由⑴→sin∠1sin∠(a-∠2)= sin∠2sin∠(a-∠1)→sin∠1sinacos∠2-sin∠1cosasin∠2=sin∠2sinacos∠1-sin∠2cosasin∠1→tan∠1=an∠2，由∠1、∠2＜π/2→∠1=∠2。由上可知，只要证明了⑴就算证明结论。
我为什么能发现《分角定理》？
我在解放前初中毕业，参军后至退休，一直作具体事务工作，这使我能坚持爱好中学数学解题，经坚苦探索，才有此结果。究其因如下：
（1）源于改革开放后的好社会土壤，才能使一株小草也能开出奇花。
（2）社会给万物与我，我应以一物回报社会，也算一点小小动力吧。
（3）我具备一点关于发展变化的基本知识。
（4）文革后，中学数学解题方法热潮兴起，给我以知识营养。
0739——3251089
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广西河池市河池供电局退休办                张光禄          2005国庆节

西河渔

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wangyangkee

俞根强也不是忒蠢；在傻老头需要的时候，顶底帖的时候，俞根强听调会意；即闹蠢货，，，光俞家荣耀，，，