【趣题征解】已知 x+yz=2 , y+xz=2 , z+xy=2 ，求满足这个方程组的所有的解

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/13 06:04pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】已知 x+yz=2 , y+xz=2 , z+xy=2 ，求满足这个方程组的所有的解。

白新岭

从未知数所处的位置上判断，它们（x,y,z)的结构相同，即假设x=a,y=b,z=c是它们（方程组）的一组解，则a,b,c的6种置换都是它们的解。如果a=b=c,那就是同一种形式的解。所以方程X+X^2=2的解是方程的解。解后边的一元二次方程得X=1或X=-2.所以x=y=z=1是楼上方程组的解；x=y=z=-2也是楼上方程组的解。
如果用销元法：有x+yz=2,可得（1）x=2-yz; 后边y+xz=2=z+xy，可得（2）x=1或y=z.
把x=1代入（1）x=2-yz,推出yz=1;同时把x=1代入主贴中后边2个方程之一，可得x+y=2;我们根据一元二次方程解与系数关系，可求出y=z=1;所以x=y=z=1是上述方程组的一组解。
把y=z代入上述方程，得到x+y^2=2,y+xy=2,得到y^3-3y+2=0,推出y=1或y=-2.
y=1的解已有。所以y=z=-2,代入后得x=-2;所以x=y=z=-2也是方程组的解。
所以，上边方程组只有两组解。

luyuanhong

楼上白新岭的解答正确！

申一言

已知 x+yz=2 , y+xz=2 , z+xy=2 ，求满足这个方程组的所有的解。
   如果从《中华单位论》的理论出发去求解,
  即：
      (√x)ˇ2+(√yz)ˇ2=(√2 )ˇ2,
      (√y)ˇ2+(√xz)ˇ2=(√2 )ˇ2,
      (√z)ˇ2+(√yx)ˇ2=(√2 )ˇ2,
因为√x ,√y,√z,是基本单位,xy,yz,xz,是单位元 1';*1';=1"
    而单位(素数,质数)没有负数!
所以 -2不符合定义,舍去!只有唯一一组解,x=y=z=1';.

      

wangyangkee

求助：
    感觉：2楼白新岭先生的-------所以，上边方程组只有两组解--------说法，不充分；
   比如，x+y+z=c,有多个解；
    求助：白新岭先生的说法是否充分，为什么？

白新岭

下面引用由wangyangkee在 2010/07/15 09:39pm 发表的内容：
求助：
    感觉：2楼白新岭先生的-------所以，上边方程组只有两组解--------说法，不充分；
   比如，x+y+z=c,有多个解；
    求助：白新岭先生的说法是否充分，为什么？

有前边的推导过程，说方程组有两组解就充分了。舍去过程，直接说方程组有两组解就不充分。
线性方程有多个解这是自然，但是给了方程组就不一定了（符合三个不同3元一次方程组的解只能是唯一的一个点序（x,y,z),两个3元一次方程组成的方程组也有多个解）。