用排除法证明四色猜测

雷明85639720

用排除法证明四色猜测
雷  明
（二○一五年六月十日）

我们在研究图的同化与米歇尔斯基操作（以下简称M—操作）时，知道有时图的色数会比其密度大，产生这一情况的原因有两种，一是图中对于某个最大团来说，存在着不可同化的道路，使色数比密度大；二是对基图施行了M—操作后所得的图的色数会比密度大。由于四色问题研究的对象是平面图，且平面图的密度均不大于4，这就可把一个对图的密度来说是无穷的问题转化成一个有穷的问题了。我们可以用排除的方法，把平面图中有以上情况的图，属于非平面图的图排除掉，再看所剩的平面图的色数是不是都不大于4，是则猜测正确，否则，则猜测错误。
1、先看图中不可同化道路的情况
当图的密度是1时，只是孤立顶点，不存在不可同化道路，一种颜色就够用了，色数是1；
当图的密度是2时，K2团外最多只可能有一条不可同化道路，同化后的最小完全同态是K3，三种颜色也就够用了；K2团外不可能有两条构成联的不可同化道路，这是因为两条道路的联的密度已经是4了，已大于原图的密度了；
当图的密度是3时，K3团外最多也只可能有一条不可同化道路，同化后的最小完全同态是K4，四种颜色也就够用了；K3团外也不可能有两条构成联的不可同化道路存在；
当图的密度是4时，K4团外若有一条不可同化道路时，可以证明这时的图就不再是平面图而是非平面图了，所以K4团的色数仍是4。
以上各密度下的完全图（团）的色数都不大于4，那么含有这些完全图（团）作其分子图的图的色数也一定不会大于4。
2、再看对图进行M—操作后的情况
当基图的密度是1时，只是孤立顶点，其进行了M—操作后的图是一个密度是2的有3 个顶点的不连通图，虽然色数是2，不大于4，但不连通已不再是四色猜测研究的对象了；
当基图的密度是2时，K2团（也是P2道路）进行M—操作，得到一个5—圈，色数是3，不大于4；这个5—圈也是前面说的K2团外有一条不可同化道路的情况，色数肯定比密度是要大1 的；对5—圈再进行一次M—操作时，则得到的是一个非平面图，已不是四色问题研究的对象了，应排除；
当基图的密度仍是2的P3道路进行一次M—操作后，得到的图是一个密度仍是2，各面均是4—圈的图，色数是3，也不大于4；再对其进行M—操作，则变成一个非平面图，也应排除；
当基图的密度仍是2时，顶点数n≥4的Pn道路和n—圈，在进行了M—操作后，得到的都是非平面图，应全部排除；
当基图的密度是3时，K3团（也是一个3—圈）进行M—操作，得到一个密度是3的平面图，需要四种颜色着色，色数是4；这个图中有4—圈，再进行一次M—操作时，又是一个非平面图，也应排除；
当基图的密度是ω≥4时，Kω团进行M—操作，得到的也都是非平面图，也应全部排除掉。
可以看出，平面图中在进行了一次M—操后所得图仍是平面图的图的色数均不大于4，而其他的图在进行了一次M—操作后均成为非平面图，不再是四色问题研究的对象了。可以得出，通过M—操作所得图仍是平面图的图均是可4—着色的，其色数一定不会大于4。
3、四色猜测是正确的
以上两种可使图的色数大于其密度的情况，在平面图的情况下，色数都没有大于4 ，这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一五年六月十日于长安

注：此文已于二○一五年六月十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

————————

雷明85639720

,,,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,,,

雷明85639720

,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，