二探素数与素数域——0层各阶奇指数幂 倪则均，2015年6月13日。

n123zj3

（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，简单的各阶奇指数幂。
下面首先给出最基本的0层里的，较简单的几个各阶奇指数幂，着重研究这些指因子，所生成的式因子的特性规律：
①当奇指数为1阶因子数3时，则有23-1=（2-1）（22+2+1）=1×7，易知2在素数7里的周期为3；当奇指数为2阶因子数32时，则有2^32-1=（2-1）（22+2+1）(22×3+23+1)= 1×7×73，易知2在素数73里的周期为32；当奇指数为3阶因子数33时，则有2^33-1=（2-1）（22+2+1）(22×3+23+1)（2^2×32+2^32+1）=1×7×73×262657，易知2在素数262657里的周期为33；…；当奇指数为k阶因子数3k时，则有2^3k-1=（2-1）（22+2+1）(22×3+23+1)（2^2×32+2^32+1）…（2^2×3k-1+2^3k-1+1），随后我们立即证明（2^2×3k-1+2^3k-1+1）必定是一个素数，而且2在这个素数里的周期必定为3k。
②当奇指数为1阶因子数5时，则有25-1=（2-1）（24+23+22+2+1）=1×31，易知2在素数31里的周期为5；当奇指数为2阶因子数52时，则有2^52-1=（2-1）（24+23+22+2+1）（24×5+23×5+22×5+25+1）=1×31×1082401，笔者虽然尚未查出1082401是不是素数，但是可以肯定2在1082401里的周期为52；…；当奇指数为k阶因子数5k时，则有2^5k-1=（2-1）（24+23+22+2+1）（24×5+23×5+22×5+25+1）…（2^4×5k-1+2^3×5k-1+2^2×5k-1+2^5k-1+1）。这个（2^4×5k-1+2^3×5k-1+2^2×5k-1+2^5k-1+1）是不是都是素数，笔者更是未能找到判别它们的方法，当然，2在其中的周期必定为5k。
③当奇指数为1阶因子数7时，则有27-1=（2-1）（26+25+24+23+22+2+1）=1×127，易知2在素数127里的周期为7；当奇指数为2阶因子数72时，则有2^72-1=（2-1）（26+25+24+23+22+2+1）（26×7+25×7+24×7+23×7+22×7+27+1），其中的（26×7+25×7+24×7+23×7+22×7+27+1）=562949953421311，是一个可以被31整除的数，由于数字太大，就不具体除出来了，当然，2在其中的周期为72；…；其它各阶的运算，更是不便具体给出。
④当奇指数为1阶因子数11时，则有211-1=（2-1）（210+29+28+27+26+25+24+23+22+2+1）=1×23×89，易知2在素数23和89里的周期都为11。其它各阶的运算同样不便具体给出。
2，一个真正的素数公式。（这是我递交给“科学智慧火花”一篇稿件）
一，欧拉的素数公式
现在大家称一元二次三项式K2+K+41为欧拉素数公式，不知这个素数公式是不是真的是由欧拉本人给出。显然，当K为40或41时它是合数，所以这不是一个真正的素数公式。但是，在这个公式里确实包含着数量十分众多的素数，因此，它应该称为富素数公式才对。
有人将0至999范围里的一千个数，一一代入这个公式计算，结果发现其中共有581个素数，足见这个公式所含素数的密度确实很高。更有趣的是由于0至39范围里的四十个数，代入这个公式计算的结果全部都是素数，于是有人以41为中心起点，写出下面的螺线方形数阵，却惊奇发现在这个螺线方形数阵里，它的次对角线上的四十个数，正是这四十个素数。
1601  …  …  …  …  …  …
      …  …  …  …  …  …
      …  43  42  …  …  …
      …  44  41  …  …  …
      …  45  46  47  …  …
      …  …  …  …  …  …
        …  …  …  …  …  1523
其中41至1523的20个素数，是0和偶数2，…，38代入这个公式计算的结果，43至1601的20个素数，是奇数1，3，…，39代入这个公式计算的结果，极其整齐规律。现在笔者尚未搞清楚，到底是先有这个螺线方形数阵，还是先有上述那个所谓的欧拉素数公式。
二，二个奇妙的序列
最小奇素数具有许多与众不同的奇异特性，前面我们已经运用它的这种奇异特性，证明了梅森素数的无限问题。下面我们仍将运用它的这种奇异特性，首先给出二个十分奇妙的序列，然后证明其中的一个，正是一个真正的素数公式。对于一个2^2×3k-1形合数来说，它2的周期为2×3k，只要根据这个周期即可判断，其最终的分解结果必定会出现3k+1。它首先可以分解为
2^2×3k-1=（2^3k+1）（2^3k-1）
二个括号里的数都是合数，第一个括号里的合数是一个1层数，它的2的周期为2×3k。第二个括号里的合数是一个0层数，它的2的周期为3k。它们可以继续分解出下面二个十分奇妙的序列，每个序列都是k+1个数的乘积。
2^3k+1=（2+1）（22-2+1）（2^2×3-2^3+1）…（2^2×3k-1-2^3k-1+1）
2^3k-1=（2-1）（22+2+1）（2^2×3+2^3+1）…（2^2×3k-1+2^3k-1+1）
第一个序列里的k+1个数，它们是1层里的各阶数。它们的2的周期依次为2×30，2×30，2×32，…，2×3k，根据重因子分解出现的规律，它的k+1个数应该全都可以被3整除，即有2^2×3k-1-2^3k-1+1≡1-2+1≡0（mod 3）。又由于2^2×3k-1-2^3k-1+1=2^3k-1（2^3k-1-1）+1，从而得知在它的每一个数里，必定都包含着第二个序列里的一个部分。
第二个序列里的k+1个数，它们是0层里的各阶数，它们的2的周期依次为30，31，32，…，3k。由于2^2×3k-1+2^3k-1+1=2^3k-1（2^3k-1+1）+1，从而得知在它的每一个数里，必定都包含着第一个序列里的一个部分。由此可见，这二个序列可谓你中有我，我中有你，关系极其密切。
三，素数公式证明
在第二个序列里的k+1个数里，除了第一数为1之外，其它k个数应该都是素数，因此2^2×3k-1+2^3k-1+1应该就是一个素数公式，显然这个素数公式与上述欧拉素数公式极为相似，它们都是一个三项式函数。有所不同的是这是一个真正的素数公式，由于它的自变量k是在指数上的，所以这是一个指数函数。那么，为什么2^2×3k-1+2^3k-1+1就是一个素数公式？首先可以运用反证法予以证明，如果它是一个合数，它就只能分解成以下形式：
2^2×3k-1+2^3k-1+1=（2rs1+1）（2rs2+1）=22rs1s2+2r（s1+s2）+！，
其中1≤r≤3k-1。要使这个等式成立，得令s1s2=2^2(k-r-1)，s1+s2=2^(k-r-1)，因此s1和s2，应该是一元二次方程x2-[2^(k-r-1)]x+2^2(k-r-1)的二个根。由于s1和s2必须是二个正整数，然而，这个一元二次方程的二个根却是二个复数，从而证明2^2×3k-1+2^3k-1+1是一个素数，它是不可分解的。
证明2^2×3k-1+2^3k-1+1是一个素数公式的方法很多。如果将第二个序列里除了1之外的k个数，依次表示为p1，p2，…，pk，由于pk-1必定可以被pk-1-1，…，p2-1，p1-1整除，则pk不能被pk-1，…，p2，p1整除，所以若是2^2×3k-1+2^3k-1+1可以分解，那么它只能作同周期分解，从而使得上面的s1和s2都必须含有2的周期数3k。如果p1-1，p2-1，…，pk-1是一个素数群序列，那么就不难证明5是它们的一个共同原根，因此，这是一个具有极其严格规律的，逐级扩张的素数群序列。
另外，我们还可以从素数群与欧拉群的明显不同，来证明这个素数公式，在Φpk素数群里，2^2×3k-1+2^3k-1+1既是一个生成子群，也是一个剩余子群，还是一个底根子群，而且这个子群的表达形式也是唯一的。然而，在合数环的欧拉群里，它们的剩余集合和底根集合根本就不能成群，只有生成子群仍然存在，但是这些生成子群是不具唯一性的。例如，在Φ7×13欧拉群里，它们的三次生成子群就有下面几个。
方次        1        1        9        16        22        29        53        74        79        81
        2        1        81        74        29        22        79        16        53        9
        3        1        1        1        1        1        1        1        1        1
        ∑     3        91        91        52    52   133         91        133  91

其中和为52和133的三次生成子群各有一个，恰为7×13=91的三次生成子群则有二个，不具唯一性。为什么会出现这种情况？不是三言二语就可以解释清楚的，它关系到合数环的种种特性规律，需要通过以后多篇文章予以系统论述。
3，“火花”退稿意见的错误。
“火花”的退稿意见是：
“经专家审阅，认为
1，本文的符号有点混乱。作者有时用小号字体的上标表示幂次，有时用记号^表示取后面的数字或字母作为幂次。对后一种表示法，当这个幂次包含多于1个数字或字母时，应该用花括弧将它们括起来，否则会造成混淆和歧义。例如第二部分第6行的分解式2^2×3k-1= (2^3k+1) (2^3k-1)，应该写成
2^{2×3^k}-1= (2^{3^k}+1) (2^{3^k}-1) 才对。
2，作者指出
2^{2×3^{k-1}}+2^{3^{k-1}}+1
是素数（原文写为2^2×3k-1+2^3k-1+1）。这个结论的对的，但证明有错，例如第三部分第8行的两个式子s1s2=2^2(k-r-1)和 s1+s2=2^(k-r-1)应分别为
s1s2=2^{2(3^{k-1}-r)} 和 s1+s2=2^{3^{k-1}-r}
（这就不仅是符号的错误了）。作者将这个结果称为“一个真正的素数公式”，显然是夸大了它的意义，事实上只能称之为“一个素数序列”。这样的素数序列可以举出无限多，例如将其中的3改为任何一个奇素数p，则
2^{2×p^{k-1}}+2^{p^{k-1}}+1
也是一个素数序列（证明很容易）。这对于数论研究并没有特别的意义。您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
此文中的2的连指数，最初我是采用最规范的形式予以表示的，然而由于递送之后不能显示，因此改用了这种不太规范的表示形式。显然，这种不太规范的表示形式，审稿专家已经看懂，大家也都会明白的。我的“一个真正的素数公式”，完全是针对欧拉的那个错误的素数公式所说的。加拿大数学家盖伊的《数论中的未解决的问题》，是一本极其重要的数学名著，此书一开始就称一元二次三项式K2+K+41为欧拉素数公式，当然这样的称呼也不是盖伊的创造，应该是大家长期的约定俗成，难道审稿专家连得《数论中的未解决的问题》也没有读过！
审稿专家说：“这样的素数序列可以举出无限多，例如将其中的3改为任何一个奇素数p，则2^{2×p^{k-1}}+2^{p^{k-1}}+1也是一个素数序列（证明很容易）。这对于数论研究并没有特别的意义。”此话简直就是信口开河，且看当p=5，k=2时则有210+25+1=7×151，当p=7，k=2时则有214+27+1=72×337。其实，我们极易证明，当p为一个奇素数，k为一个正整数时，2^{2×p^{k-1}}+2^{p^{k-1}}+1必定全都可以被7整除。因为2^{3×p^{k-1}}-1，具有以下两种不同的分解方式：
2^{3×p^{k-1}}-1=[2^{p^{k-1}}-1][ 2^{2×p^{k-1}}+2^{p^{k-1}}+1]
2^{3×p^{k-1}}-1=[23-1][2^3{p^{k-1}-1}+2^3{p^{k-1}-2}+…+1]
由于最后的分解结果应该完全相同，因此第二个式子里的[23-1]=7，必定可以整除第一个式子里的[2^{2×p^{k-1}}+2^{p^{k-1}}+1]。所以这个退稿意见只能说明，审稿专家的数学水平实在是太低了，简直是在显丑！（这是我于2015年1月11日，在“数学中国”上所发的帖子）。