三探素数与素数域——重因子分解的算理 倪则均，2015年6月15日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，三种最基本的分解方式。
我们首先介绍三种最基本的分解方式，顾名思义，既然有着三种最基本的分解方式，那么一定还会有一些十分复杂的分解方式。其实，只要我们真正掌握了三种最基本的分解方式，那么，那些十分复杂的分解方式自会不难理解。此三种最基本的分解方式，尽管存在于所有的各层之中，但是从方便论述的角度来说，我们主要介绍0层里的三种最基本的分解方式，而其它各层的情况也都大同小异。
第一种最基本的分解方式，又称为常规分解方式，其特征是一个指因子，生成唯一的一个式因子，当然这个唯一的一个式因子，就必定是一个奇素数，而2在这个奇素数里的周期，就是这个指因子。例如，23-1=7和25-1=31都是属于第一种最基本的分解方式，显然在奇素数7和31里，2的周期分别为3和5。再如对于23×5-1=7×31×151来说，在其中的奇素数151里，由于2的周期为15，因此可以说，奇素数151是由指因子15所生成。
第二种最基本的分解方式，又称为同周期分解方式，其特征是一个指因子，所生成的一个式因子，还可以再进一步分解出多个同周期素数。所谓的同周期素数，是指在这些素数里，它们的2的周期全都相同，全都为那个指因子。例如，211-1=23×89，在23和89里，2的周期全都为11。再如，273-1=439×2298041×9361973132609，而在439，2298041和9361973132609里，2的周期全都为73。
第三种最基本的分解方式，又称为重因子分解方式，其特征是它的指因子，必须是一个1阶以上的因子数，例如指数v=pqr，当p是奇素数q的2的周期时，2^pqr-1的分解结果里，必定会出现重因子qr+1。一般来说，2^pqr-1的分解结果里，还会出现一个2的周期为v=pqr的奇素数。例如23×7-1=72×127×337，2在337里的周期为3×7。笔者在上一篇文章里曾给出2^2×3k-1=（2^3k+1）（2^3k-1），并且指出第一个括号里的合数是一个1层数，它的2的周期为2×3k，这也是一个重因子分解方式，但是其中却有一个极其特殊的以外情况。
至此，下面我们不妨再给出一个比较复杂一点的分解，当当指数t=364=4×7×13时，则有2364-1=3×127×8191×10932×23332568624600098029078397904470679629。有趣的是，在1093和10932里，它们的2的周期竟然同是364，这是因为1093-1=3×364，10932-1=（1093-1）（1093+1）=3×1094×364。如果23332568624600098029078397904470679629，还可以再作分解，那么它们的2的周期必定仍然是364。
2，重因子分解的算理算法。
为什么当指数v=pqr，而素数p是奇素数q的2的周期时，2^pqr-1的分解结果里，必定会出现重因子qr+1。这是因为此时我们可以将2^pqr-1，转换成2^pqr-1=（2p）t-1，其中t=qr。由于素数p是奇素数q的2的周期，因此又有2 p=jq+1，代入上式后得到2^pqr-1=（2p）t-1=（jq+1）t-1，此式展开为：
（jq+1）t-1=0Ct（jq）t+1Ct（jq）t-1+…+t-1Ct（jq）+ tCt-1
=0Ct（jq）t+1Ct（jq）t-1+…+t-1Ct（jq）
由于tq=qr+1可以整除上述结果，因此当指数v=pqr，而素数p是奇素数q的2的周期时，2^pqr-1的分解结果里，必定会出现重因子qr+1。然而当指数v=pqr，而素数p是奇素数q的2的周期时，2^pqr+1的分解结果里，决不会出现重因子qr+1，因为2^pqr+1是属于1层的。但是，我们可以将2^pqr+1转换成2^2pqr-1，此时如果2p是奇素数q的2的周期时，2^pqr+1的分解结果里，仍然会出现重因子qr+1。例如25×11+1=112×297758653049289，因为在素数11里，其2的周期为2×5。其中的297758653049289，如果不是素数，那么它只能作同周期分解，2在其素因子里的周期，必定全都为2×5×11。
对于第2层的2^2kqr+1（k为奇数）来说，只要2×2k是奇素数q的2的周期时，2^2kqr+1（k为奇数）的分解结果里，必定会出现重因子qr+1的。对于第3层的2^4kqr+1（k为奇数）来说，只要2×4k是奇素数q的2的周期时，2^4kqr+1（k为奇数）的分解结果里，必定会出现重因子qr+1的。…由此可见，在所有的各层之内，全都会出现重因子分解现象的。显而易见，每一个重因子分解现象，都是一个无限序列。
一个重因子分解现象，既可以由第一种最基本的分解方式所生成，也可以由第二种最基本的分解方式所生成。当然，由第一种最基本的分解方式所生成的重因子分解现象十分缓慢，现在我们所看到的都是这类重因子分解现象，因为我们所认识的自然数范围还十分狭小。然而，只要我们对于自然数的认识范围能有所扩展，我们就可以看到由第二种最基本的分解方式所生成的重因子分解现象，它们的发展会是非常迅猛的。
在一个重因子分解序列里，应该也会出现同周期分解现象，希望会编程的网友，能帮助我找出一个，重因子分解序列里的同周期分解，以证明重因子分解与同周期分解是一种互生的关系。另外，由于对于重因子分解现象的出现，我们只要通过对于指因子的分析，即可予以判定，因此，重因子分解现象对于各层生成式的迅速分解极为有利。
3，关于素数性质的又二条定理。
如果说笔者在上一篇文章里的：2^2×3 k+2^3 k+1是一个真正的素数公式，是关于素数性质的第四条定理，那么下面我们将证明素数性质的第五条定理为：在每一个奇素数里，都有一个2的周期；在整个自然数里，除了1和6之外，其它每一个自然数，都至少是一个奇素数里的2的周期。在每一个奇素数里，都有一个2的周期，我们极易运用费马小定理予以严密证明。费马小定理是指：若p为素数，（a，p）=1，a p-1≡1（mod p）。
至于为什么1和6，不能是任何一个奇素数里2的周期的问题，我们不妨先讨论1的情况。在0层素数里，其公因子式为21-1=1，这意味着如果1是一个奇素数，那么在这个奇素数里，其2的周期为1。然而，由于1不是一个奇素数，因此，2的周期为1的奇素数是不存在的。其实，1不能是任何一个奇素数里2的周期，大家比较容易理解，而6不能是任何一个奇素数里2的周期，大家都会觉得奇怪。
笔者在上一篇文章里所给出的2^3k+1，是一个由最小奇素数3所构成的重因子序列，当k=1时，则有26-1=32×7，显然其中2的周期为6的奇素数，硬是被重因子3给挤掉了。然而，当然，当k=2时，则有218-1=33×7×19×73，其中2的周期为2×32的奇素数是19，说明这种奇异的情况，只有在重因子数为最小奇素数3时，并且还只能在其初始项里才能出现。2^2×5k+1，是一个由次小奇素数5所构成的重因子序列，当k=1时，则有220-1=3×52×11×31×41，而41是2的周期为20的奇素数。
显然，对于除了1和6之外的任何一个自然数t来说，我们都可以通过分解2 t-1，得到2的周期为t的奇素数。由此可见，1和6似乎就是整个自然数里的二个黑洞。自然数里的6，带给我们的谜团实在太多了，至今我们还搞不清楚，为什么天上的雪花，地上的蜂窝都是六角形的，据说只有陨石里的钻石，才有六束反射。6是最小的一个完全数，具有1+2+3+6=2×6，1/1+1/2+1/3+1/6=2的特性。在连续统的迭代运算里，2则是一个自然常数。西方的基督教徒认为是上帝花了六天时间创造了我们人类，西天的佛教徒则是讲究要六根清静，我国的儒家则要求贵族子弟必须学习六艺。