中值定理中，为什么要求闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导？

fm1134

中值定理中，要求f(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导。为什么要作这样的要求呢？
如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导，那么f(x)在闭区间[a,b]上也是可导的，因此“闭区间上连续，开区间内可导”和“闭区间上连续，闭区间上可导”是等价的，那为什么不干脆要求“f(x)在闭区间[a,b]上连续且可导”呢？这样叙述起来也要简洁一些。
或者，还有其它什么原因？

luyucheng1

所谓可导，是指在某点处左右导数都存在，对于闭区间的端点，当然不知道它在区间外两侧是否可导，因此，就不能确定端点处是否可导。应用中也不需要它一定可导，所以就用开区间内可导来叙述。

fm1134

luyucheng1 发表于 2015-6-18 12:07
所谓可导，是指在某点处左右导数都存在，对于闭区间的端点，当然不知道它在区间外两侧是否可导，因此，就不 ...

如果f(x)在区间(a,b)内可导，且f(x)在a点的右导数和b点的左导数都存在，就称f(x)在闭区间[a,b]上可导。
f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则一定也在[a,b]上可导。因此，中值定理中的条件没有必要那么罗嗦地要求“f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导”，直接要求“f(x)在区间[a,b]上可导”不就完事了吗？这样很简洁明了。为什么要罗罗嗦嗦地说那么一大堆条件呢？

luyucheng1

给定一个闭区间，中值计算中需要知道两端点的函数值，而两端点并不一定可导，例如左端点的右导数存在，它的左导数不知道，怎么能说它可导呢？因为可导是指该点处左右导数都存在并且相等。你的问题是你对可导理解错误!

fm1134

luyucheng1 发表于 2015-6-20 05:57
给定一个闭区间，中值计算中需要知道两端点的函数值，而两端点并不一定可导，例如左端点的右导数存在，它的 ...

我感觉你对“f(x)在闭区间[a,b]上可导”这一概念的理解有误。

luyucheng1

数学教科书中的定理，每一个字都是经过千锤百炼的，都是不可或缺的。学习中要仔细体会与理解。你的问题是对“可导”的含义还没有理解，如果你理解“可导”的意义，就不会对定理产生误解了。

中国上海市

有区别的

fm1134

luyucheng1 发表于 2015-6-20 06:17
数学教科书中的定理，每一个字都是经过千锤百炼的，都是不可或缺的。学习中要仔细体会与理解。你的问题是对 ...

我感觉你对“f(x)在闭区间[a,b]上可导”这一概念的理解有误。
请仔细查看教科书中对“f(x)在闭区间[a,b]上可导”这一概念的解释。

fm1134

中国上海市 发表于 2015-6-20 06:38
有区别的

。。。。哦？

fm1134

没人知道吗？