标准分析中实数及其十进制表示的直观解读.

elim

实数在标准分析中可以直观地视作数轴上的点到原点的有向距离.

实数的十进制表达是实数在数轴上的十进制坐标.

例如 a = 0.333.... 表示数轴上的一个位置, 对每个 n, 它在 n 位有限小数0.3...33 与 0.3...34之间.
这个位置显然唯一, 到原点的距离恰为 1/3. 所以 0.333... = 1/3.

一般地,  0.A1A2...An...  (Ai ∈ {0,1,...,9}, i = 1,2,....) 表示介于一切如下数对的实数 x:

0.A1A2...An ≤  x ≤  0.A1A2...An + 1/10^n,  n = 1,2,3,.....

由实数系的连续性(或曰数轴的连续性), 这样的实数x 存在且其十进制坐标恰为 0.A1A2...An... .

显然这个 x 是数列 0.A1, 0.A1A2, .... 的极限. 但无尽小数  0.A1A2...An...  不是这个数列, 而是这个数列的极限.

wangyangke

显然，elim的帖子涉及0.3333，，针对曹俊云的；曹俊云欲摆脱愚蠢、真蠢、孬种称谓，曹俊云欲曹俊云的所谓的改革成功，只有在此面对elim，，，

elim

坐标的概念类似与戏院的座位, 几楼,几区,几排,几座. 0.A1A2A3....  的情况类似:

在 0.A1...A(k-1) 右边的十个 1/10^k 区中它在第 Ak 区, k = 1,2,.....

jzkyllcjl

你说的“对每个 n, 它在 n 位有限小数0.3...33 与 0.3...34之间”的数是1/3，而不是0.333……，后者是写不到底的事物，它不是定数。

wangyangke

虽说elim指曹俊云愚蠢、真蠢、孬种、畜生不如有些过分或者说elim指曹俊云愚蠢、真蠢、孬种、畜生不如证据不足；不过，曹俊云上面的发言——你说的“对每个 n, 它在 n 位有限小数0.3...33 与 0.3...34之间”的数是1/3，而不是0.333……，后者是写不到底的事物，它不是定数。——显示出曹俊云实在是愚蠢或者呆滞：
1.肯定的，曹俊云上面的发言是认真的，不属于忙中有错类型；
2.曹俊云没有理解或者说没有弄懂elim的发言；——曹俊云歪曲elim的发言内容；
3.曹俊云的发言中的“后者”指向含糊不清。

你说的“对每个 n, 它在 n 位有限小数0.3...33 与 0.3...34之间”的数是1/3，而不是0.333……，后者是写不到底的事物，它不是定数。

jzkyllcjl

后者指0.333……；它是写不到底的事物，它不是定数。
0.333……是数列0.3，0.33，0.333，……的简写；这个数列的极限是1/3，但这个数列本身不是1/3。elim混淆了数列与其极限的概念。

elimqiu

虽然在数值计算中，以及书面表达中，实数的小数部分只能是

有限小数，而且无尽小数书写不完，但主帖表明无尽小数并不因为这些就没有意义或者是变量。

主帖表明每个取值于0~9的序列确定一个[0,1]中的实数. 反过来，对每个[0,1]中的实数，我们有统一的方法來确定其十进制坐标，即十进小数表示. 虽然我们通常只知道或只能写出其有限位数值，但理论上单位区间的实数的十进制坐标可以被唯一确定.

jzkyllcjl

你的论述说明：你把0.333……看作0.3，0.330.333……的极限了；但是这个数列的极限是1/3。至于0.333……，它是写不到底的事物；你没有办法证明：它等于1/3。

elimqiu

jzkyllcjl 发表于 2015-7-2 08:06
你说的“对每个 n, 它在 n 位有限小数0.3...33 与 0.3...34之间”的数是1/3，而不是0.333……，后者是写不 ...

安照十进小数的定义，0.333... 就是1/3 的十进小数表达。
它写不到底并不影响它表达定数1/3. 因为0.333...的各位均已确定，

elim

从十进小数的定义，它本身就不是靠写到底确立的. 所以写不到底丝毫不影响它表示确定的实数而非变数。几何上看，一个实数的十进制坐标没有理由是变数。