P1,P2,…,Pn 是单位球面上的 n 个点，O 是坐标原点，向量 ∑OPi=0 ，证明 ∑APi≥n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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可以分2种情况讨论。

第一种情况——A点不与任何一个P点重合

我们可以选择向量OA的方向为新的X轴方向，【在原点不变、单位长度不变的条件下，】任意依右手系定出新的Y轴和Z轴。（如果A点重合于原点，则可以任意选一个方向为X轴方向）

经此坐标变换后，各P点依旧在单位球上， 向量∑OPi=0 的条件亦成立。
设OPi 向量在新坐标系下各分量分别为Xi ,Yi，Zi

有 Xi^2 + Yi^2 + Zi^2 =1  (i=1,2,3.....n)
∑Xi =0
∑Yi=0
∑Zi=0

设A点坐标，(a,0,0)   (a>=0)

于是， ∑APi =   ∑    根号函数（ （Xi - a）^2 + Yi^2 +Zi^2 ）
                  =   ∑   根号函数（ 1  - 2 a Xi  + a^2 )

注意到A点不与任何P点重合，所以，这里每一项，根号内都不为0。（都大于0）

考虑  ∑APi成为a的函数，考虑这个函数的极值。 ——对a求导

导函数=  ∑ （a -Xi） /  根号函数（ 1  - 2 a Xi  + a^2 )

注意到当a=0时， 导函数= ∑ （ -Xi）/ 1  =0

二阶导数： =   ∑       （1 -  Xi^2） /   （ 1  - 2 a Xi  + a^2 ) ^(3/2)
各项分母总是正的， 各项分子>=0，
这里再细分两种情况讨论：

如果N>2，或者 虽然N=2  但  P1P2坐标不是恰好为（1,0,0），（-1,0,0）时，

这种情况二阶导数为正，即，a=0时   ∑APi 取得极小值。
而a=0, 即 A点坐标（0,0,0），与原点重合。由于各P点在单位球上，所以，∑APi =n
a>0则  ∑APi 将大于n

如果N=2 且   P1P2坐标恰好为（1,0,0），（-1,0,0）时
显然 P1，P2和A同线。 ∑APi  =  根号函数（ （-1- a）^2 ）+ 根号函数（ （1 - a）^2  ）
那么，0<=a<=1时， ∑APi = (1+a)+(1-a)=2=n
a>1时， ∑APi = (1+a)+(a-1) =2a >n

【第二种情况见楼下】

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第二种情况，A点与某个P点重合。
不失一般性，设A点与Pn点重合。
以向量PnO为新的X轴正方向做坐标变换。

设OPi 向量在新坐标系下各分量分别为Xi ,Yi，Zi   （i=1,2,3,.....n-1）

有 Xi^2 + Yi^2 + Zi^2 =1  (i=1,2,3.....n-1)
∑Xi =1     （因为Pn点坐标，-1,0,0，所以，其他各P点X分量的和是1）
∑Yi=0
∑Zi=0

A点坐标：（-1,0,0）

∑APi =  ∑ 根号函数（（Xi +1）^2 +Yi^2 + Zi^2）
       =  ∑ 根号函数（Xi^2 +2Xi +1 +Yi^2 + Zi^2）
       =  ∑ 根号函数（1 +2Xi +1）
       =  ∑ 根号函数（2*（1+Xi ））
由于Xi 是单位球上点的X分量（且不是-1,0,0点）， 所以，有   -1< Xi <= 1
所以，  0< 1+Xi<=2
所以， =  ∑ 根号函数（2*（1+Xi ））
          >=     ∑ 根号函数（(1+Xi)*（1+Xi ））
            =   ∑ ( 1+Xi)  
  【注意到这个和，是从1到n-1, 同时注意到  ∑ Xi=1】
          所以，上式 =   n-1 +1
                          =n
即，∑APi>= n


综合两种情况，∑APi>=n 成立。
证毕

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天元酱菜院 发表于 2015-7-5 02:45
可以分2种情况讨论。

第一种情况——A点不与任何一个P点重合

遗憾的是，第一种情况令导数为0时，没能【推导】出a=0令导数为0，而是试出在该点为0.  

实际上，应该分三种情况讨论，A与某个P点重合；  N=2且 A、 P1、P2同线； 其他情况。这样，二阶导数就总为正了。

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。下面是此题的详细解答过程：