九探素数与素数域——费马素数只有五个 倪则均，2015年7月7日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，费马素数问题的提出。
费马首先给出，除非m是2的方幂，否则2^m+1不可能是素数。这个猜想是正确的，因为当m是奇数时，由于2^m+1=（2+1）[2^(m-1)-2^(m-2)+…+1]，所以具有素因子3。当m=2^n×v（v为奇数）时，由于2^m+1=（2^2n+1）[2^2n (v-1)-2^2n (v-2)+…+1]，所以具有公因子（2^2n+1）。费马数2^2n+1也是除了0层之外的，其它各层的0阶数。
大约从1640年开始，费马就多次声称，反过来，2^2n+1形数必定是素数。当n=0，1，2，3，4时，2^2n+1=3，5，17，257，65537的确都是素数。可是当n=5时，欧拉在1732年证明F5=2^25+1有素因子641，随后就有人完整的给出F5=2^25+1=4294967297=641×6700417。费马合数的分解属于同周期分解，2在素数641和6700417里的周期应该同为2×25=64，由于641-1=64×10，6700417-1=64×104694，所以这个分解是正确的。
1855年，Clausen得到了的一个素因子为274177，由于274177-1=128×2142，所以这个素因子是对的。然而，1880年，八十二岁的Landry所给出的完全分解出F6=274177×67280421310721，由于67280421310721-1=128×5256291490，所以这个分解也是正确的。1970年，Morrison和Brillhart则给出F7=59649589127497217×5704689200685129054721。
对于F8，F9，F10，F11有人已经知道了它们的完全分解式。对于F12，F13，F15，F16，F17，F18，F19，F21，F23有人已经知道了它们的部分素因子。对于F14，F20，F22，F24有人已经知道了它们都是合数，但是尚未给出它们的任何一个素因子。于是大家必然要问，费马素数是否只有n＜5时的五个？以后绝对不会再出现第六个费马素数了？
其实，只要证明了费马素数是否只有n＜5时的五个，大家也就完全没有必要，再去对Fn作那么异常艰难的分解了。这是数论里的一个非常著名的难题，几百年来。一直悬挂在那里，这是笔者研究数论问题，所解决的第一个真正的难题。我的证明方法，也是运用了Φp素数群的剩余方阵，这个方法与“揭示素数群的构造”和“商群到底该是什么”所采用的方法。完全是一脉相承的。
2，费马素数只有五个的证明。
如果p是一个费马素数，那么其原根的数量必定为（p-1）/2。显然，在Φp素数群里，其全体二次剩余的（p-1）/2个元素，由于它们的（p-1）/2次方全都为1，因此它们全都不可能是Φp素数群里的原根。这就是说，只要从Φp素数群的p-1个元素中，去除掉（p-1）/2个二次剩余元素，那么剩下来的（p-1）/2个元素，必定全部都是Φp素数群的原根。
只要运用高斯的一反二补律，特别是他在证明这三条规律时所使用的以下引理：在用奇素数p除1a，2a，…，（p-1）a/2所得的剩余中，如果有n个大于p/2，则（a/p）=（-1）n，（其中（a/p）为Legendre符号），即可证明3不可能是所有费马素数的二次剩余。在盖伊所写的《数论中未解决的问题》一书中，更是具体给出3只能是12k±1形素数的二次剩余。因此，3是所有费马素数的原根，如果Fn=2^2n+1是一个费马素数，那么ΦFn素数群的全体元素可以表示为：
ΦFn={31，32，…，3^(2^2n)≡1}。
对于费马素数Fn=2^2n+1来说，其ΦFn素数群的2^2n-1次剩余子群，是一个比较特殊的剩余子群，若设di=2^2n-1，那么就可以将这个特殊的剩余子群表示为：
Sdi={1，3^di，3^2di，…，3^（di-1）di}
这个剩余子群里的每一个元素，它们各有一个底根集合。每个底根集合各有di=2^2n-1个底根，这di=2^2n-1个底根的di=2^2n-1次方，为这个剩余子群里的同一个元素。显然，di=2^2n-1个底根集合之间的两两之交必定为空，否则相交的一个底根，就会生出这个剩余子群里二个不同的元素，当然这是不可能的。
若是将Sdii={1，3^di，3^2di，…，3^（di-1）di}剩余子群里的每一个元素，都作di=2^2n-1次开方运算，所得到的集合为{1，3，3^2，…，3^（di-1）}，显然，这个集合正是上述di=2^2n-1个底根集合里的，各个最小的底根的集合。由于这个集合里的di=2^2n-1个元素，正是由3的1到di=2^2n-1次方所生成，并且令3^di=1的结果，因此，这个集合必定为ΦFn-1素数群，即有ΦFn-1={1，3，3^2，…，3^（di-1）}。从而证明如果Fn是一个费马素数，那么Fn-1就必定也是一个费马素数。由于已知F4是费马素数，所以F3、F2、F1、F0也必定都是费马素数。由于已知F5不是费马素数，所以一切n＞4的Fn全都不可能是费马素数，由此证明费马素数只有n＜5时的五个。
3，费马素数算法的推广与引申。
侯小山在“科学智慧火花”上，发表了一篇名为“提出10……01猜想”的文章：每一个大于101的奇数1001，10001，100001，……，都是对称合数？如有反例，则必定是很大的对称素数。我在《科学智慧火花》发表“提出对称素数问题”文的64楼指出：1001，10001，100001，1000001，10000001，100000001，1000000001，这七个数都是合数，就有了这个10…01猜想。后来在《数学中国》上第一次公开了这个猜想，贴名为“大于100000001的10……01都是对称奇合数吗???”。
此贴公开后，天山草老师第一个关注此贴并证明当n 是大于2奇数时1 + 10n都是合数，还验证到3≤n≤93时，1 +10^n都是合数。陆元鸿教授很快证明了形如10^(2k-1)+1，10^2(2k-10)+1，10^2^m(2k-10)+1的奇数都是奇合数，并估计：当m>6时，102^m+1的绝大部分都是合数，但还是有可能存在极个别的不是合数的反例。
不久，天山草老师已经验证到：当2<m≤10001时，10m + 1都是合数；当n=1,2,3,……,16时，102^n +1也都是合数。目前，我提出的这个10……01猜想仍然未获彻底解决，我希望能在《科学智慧火花》公开，引起更多人的注意，使这个猜想早日获得彻底解决。
我在7楼作了如下的讨论：证明在10n+1形数里，只有当n=0，1，2时的三个素数，其它全部都是合数不难。首先容易证明当n为奇数时，11必定为其一个素因子。其次不难证明当n=2jk（k为奇数）时，10^2j+1必定为其一个因子数。最后可以按照我对于“探索证明只有5个费马素数”的方法，证明10^2j+1形数里，只有当j=0，1时的二个素数，其它全部都是合数。
现在种种没有什么实际意义的猜想，可谓多如牛毛，跟着人家东施效颦更是毫无意义。其实,对于这些悬而未决的难题来说，即使今后还将永远悬挂在那里，也不会影响到数学的发展和社会的进步。当然，哥猜对于我们中国人来说，有着非比一般的特殊意义。只有初中毕业的民间数学家华罗庚，从上个世纪的三十年代，就开始了对于哥猜的研究。建国之初，他就带领了一批年轻学子，展开了对于哥猜更为广泛的探索。随着陈景润证明了“1+2”，立即在全国掀起了一场声势浩大的攻坚战，这场对于哥猜的攻坚战，似乎一直延续至今。今天我们特别需要通过破解哥猜，来鼓舞大家复兴中国数学的士气。
其实，类似的情况还有一个，那就是6^m+1形数，只有6^0+1=2，6^1+1=7，6^2+1=37，6^4+1=1297四个素数，因为6^8+1=1879617=17×98801。2^m+1形数，4^m+1形数，6^m+1形数，10^m+1形数是四个特殊形状的数，其中的素数不仅都是十分有限，而且还是逐一减少，不知能不能运用它们去解释晦涩难懂的伽罗瓦理论，让它变得简洁明了一些。