无穷数列可重排为单调不增列当且仅当其收敛,各项大于极限或除有限项大于某c 外 = c

elim

试证: 无穷数列可重排为单调不增序列,当且仅当序列收敛且其项皆大于极限或除有限项大于某数 c 外皆等于 c.

谢谢天先生指出了这个陈述的不严密 (反例:严格递减趋于负无穷的序列)。特作如下更正:

无穷数列可重排为单调不增列当且仅当

(1) 其上下极限相等;
(2) 无小于上极限的项;
(3) 若有等于上极限的项，从某项起数列为常数。

我们假定上下极限在扩充的实数系取值, 即允许它们为正负无穷大.

elim

存在大量不能通过重排成为单调的数列.

天元酱菜院

似应限定【有下界的】。

有下界的无穷数列可重排为单调不增序列,当且仅当序列收敛且其项皆大于极限或除有限项大于某数 c 外皆等于 c.

反例： 无穷数列3,8,7，-1，-2，-3，......-n，-(n+1)....显然可重排，而它不收敛。

elim

收敛就蕴含有下界.

天元酱菜院

elim 发表于 2015-7-15 10:39
收敛就蕴含有下界.

【当且仅当】。  

请看那个反例， 符合【可重排为单调不增列】的无穷数列。 但那个反例不收敛。

既然要当且仅当，就要在【当且仅当四个字】前面的部分里，加以限制。

天元酱菜院

643325205 发表于 2015-7-15 13:22
浑水摸鱼也是好样子！！！！！！

反对。

这里，仅仅是指出他的某一次不严谨。 不属于大失误。
从数学理论体系来说，我坚定地站在本楼楼主一边。

天元酱菜院

我也只好来做一下这个作业了。

1） 设无穷数列A有下界，可重排为单调不增序列，命名重排后的序列为B，【某C】为A的下界（可以先不论其是否下确界）。

因为B是A重排后得到的数列，B中的任何一项，都属于A， 所以，B中任何一项都不小于【某C】，即B有下界。

根据有界单调数列极限存在定理， B有极限（收敛），令这个极限为C。 由于C是下界之一，（下界中之最大者，但同时也是下界之一）。 即c属于【某C】组成的集合。 即，B中各项不小于C。

如果B中存在某项=C，则由于B单调性及不小于C的结论，在该项之后各项必定全部等于C
如果找不到某项=C,由于C是下确界，必定各项大于C.

天元酱菜院

2) 设数列A收敛于C，且A中各项均大于C

以下考虑自1开始的自然数序列：1,2,3，....i，i+1，....
对于任意自然数 i， 因A收敛于C，必有Ni，使当N大于Ni 时， | A(N) - C | <  1/i
由于A中各项均大于C，即 0 < A(N)-C <  1/i .
可见，A各项中，大于 C+1/i 者，不会多于 Ni 个。 ——即其为有限个。

首先，取出前N1 项予以重排
继而，依次对i =2,3,4，....取定Ni,  对N(i-1) 到N(i)各项，依大小插入前已排好之列。

对任意K， 因A中各项大于C，所以，A(k)要么大于C+1，要么必存在L, 使 C+1/ (L-1)  >=   A(k)  >  C+ 1/L
即，A（K） 将在第L次之前，被排入新的序列（即它总是被包含在上述重排序列之中）。

天元酱菜院

3) 设数列A收敛于C，且除有限项均大于C外，其余各项均等于C

取出大于C各项，因其有限，所以可以从大到小予以排列。其余各项排列其后，如此即实现了题目要求的重排

elim

天元酱菜院 发表于 2015-7-14 22:26
反对。

这里，仅仅是指出他的某一次不严谨。 不属于大失误。

谢谢天先生指出了主帖陈述的错误。我想最好不要排除任何可重排成单调不增序列的情况：

无穷数列可重排为单调不增列当且仅当其上下极限相等，无小于上极限的项，若有等于上极限的项，从某项起数列为常数。

我们假定上下极限在扩充的实数系取值。