ABCD 为矩形，已知 SΔABM=X ，SΔAND=Y ，SΔCMN=Z ，证明 SΔAMN=√[(X+Y+Z)^2-4XY]

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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以下是引用 YAG 在2015/7/14 13:46:57的发言：

請問陸老師:

這個問題改成平行四邊形會對嗎?任意四邊形也會對嗎?

平行四边形，可以看作是矩形作仿射变换后得到的图形。

仿射变换不会改变图形的面积之比，而本题的结论只与图形的面积之比有关，

所以，对矩形成立的本题的结论，作仿射变换后，对平行四边形同样也成立。

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但是，如果进一步将平行四边形变成任意四边形，本题的结论就不一定成立了。

看一个极端的例子：设 M 点与 B 点重合，N 点与 D 点重合。

这时 ΔABM 和 ΔAND 的面积都退化为 0 ，也就是有 X = Y = 0 。

这时 √[(X+Y+Z)^2-4XY] =√[(0+0+Z)^2-0] = Z = SΔCMN 。

要成立 SΔAMN = √[(X+Y+Z)^2-4XY] = SΔCMN ，也就是要有 SΔABD = SΔCBD 。

如果 ABCD 是平行四边形，这一式子显然是成立的。

但是，如果 ABCD 变成任意四边形，这一式子显然就不一定成立了。