四求素数及其幂的分拆——探索素数幂的特性 倪则均，2015年7月17日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，数学十字路口处的指路牌。
有些人的一生，往往会多次走到可以有几种选择的十字路口，正确的选择会让你平步青云，错误的选择会让你到处碰壁。其实，数学研究的走向，同样也会如此，对于素数的二平方和分拆问题，不是也出现了何去何从的问题了吗？！如果我们盲目迷信欧拉高斯，甘愿接受他们的那套晦涩难懂的东西，不敢另辟捷径，那么我们就会永远徘徊在错误的黑暗之中。
其实，素数的二平方和分拆问题，还仅仅只是一通开场锣鼓，真正的好戏还在后面。冯克勤通过《平方和》所给出的节目单是：二平方和→四平方和→二元二次型→三平方和→θ，g0，g1，g2和g3→雅可比恒等式→r2（n）计算公式→r4（n）计算公式→……。这种东一榔头西一锤研究数学的方式，不是我们中国人应有的思维模式。如果我们被冯克勤牵着鼻子走，那么只要几个七弯八绕，很快就会迷失方向。
冯克勤可能以为四平方和问题，与二平方和问题一样容易解决。他根本就没有料到，拉格朗日对于四平方和定理的证明，与欧拉对于二平方和定理的证明一样也是错的，因为他们都是错误的运用了，错误的无穷递降法。这个错误的无穷递降法，是欧拉高斯强加于费马的，然而，费马的真正的无穷递降法，至今大家都一直没有找到。
陈景润在他的《初等数论（Ⅰ）》里，证明了三元四次不定方程x^4+y^4=z^4，没有正整数解。张君达在他的《数论基础》里，将其推广到三元高次不定方程x^4k+y^4k=z^4k，全都没有正整数解。张君达认为他们所使用的方法就是无穷递降法，他并且指出了费马无穷递降法的逻辑步骤是：①若一关于正整数的命题P（n），对于若干正整数n是正确的，则在此诸n中必有一最小者。②若P（n1）正确，则必有正整数n2＜n1，使P（n2）正确。这同样是强加于费马的东西。
为了研究三平方和问题，凭什么先得去研究繁琐复杂晦朔难懂的二次型理论？二次型理论对于三平方和问题来说，似乎既不是一种数学的抽象，也不是一种类比的手段，更不是一种化归的问题。如果说这是一种映射的关系，那么这样的映射，岂不是有些荒唐了吗？对于三平方和问题来说，为什么不走早就展现在眼前的光明正道，却偏偏热中于非得去寻找那些歪门邪道。
θ，g0，g1，g2和g3与r2（n）计算公式几乎毫无关系，雅可比恒等式可谓错误百出，r4（n）计算公式根本就不可能存在。特别需要指出的是，高斯为了推导出他的r2（n）计算公式，居然运用复数离奇的搞出了整数环理论。其实，我们至今对于复数的认识，仍然十分肤浅，因此高斯的那个整数环理论能不出错吗？所以对于素数及其幂的分拆，我们只能按照我们中国人的数学思维模式进行下去。
2，Hp^w（p≠2）素数幂环的特性。
Hp^w素数幂环，是沟通Hp素数域，与Hm（m=p1^w1p2^w2…pn^wn）合数环之间的桥梁。以后，不管是我们通过Hp素数域，去研究Hm合数环的内部规律，还是通过Hm合数环，去揭示Hp素数域的种种特性，Hp^w素数幂环都承担着，极其关键的枢纽作用。Hp^w素数幂环，实际上是由若干个相同Hp素数域的积所构成，是一种最简单，也是最基本的环类。当w=1时，Hp^w素数幂环即为Hi素数域，所以Hp素数域仅是Hp^w素数幂环的一种特殊情况。
因此，我们极易根据Hp素数域的特性，掌握Hp^w素数幂环的规律。反过来，我们同样可以，根据Hp^w素数幂环的特性，掌握Hp素数域的规律，因为它们之间完全相通。若干个不同Hp^w幂环的组合，即为Hm合数环。因此，我们同样可以将Hp^w幂环，看作是Hm合数环，n=1时的一种特例。
Hp^w素数幂环的以下特性，一般的数论著作都会，或多或少都会有所介绍，然而他们未必都是从最基本的角度来解释这些问题，下面笔者将努力捭开那些形式主义的东西，力求运用一些最基本的观点，来论述这些问题。由于都是老调重弹，因此将它们称之为引理，或许比较妥当：
引理①，Hp^w素数幂环的欧拉函数为：φ（p^w）= （p-1）p^(w-1)。这是因为Hp素数域里的的欧拉函数为：φ（p）=（p-1），那么w个欧拉函数φ（p）=（p-1）的笛卡尔积，则为φ（p^w）= （p-1）p^(w-1)。
引理②，Hp^w素数幂环的因子函数为：d（p^w）= w+1。我们应该将因子函数d（p^w）= w+1，理解为是由w个有量阶因子，再加一个无量阶因子pi0所构成。
引理③，Hp^w素数幂环的因子之和函数为：σ（p^w）=（p^(w+1) -1）/（p-1）。这是因为Hp素数域里的因子之和为：σ（p）=p+1，那么w个因子之和的笛卡尔积，则为σ（p^w）=（p^(w+1) -1）/（p-1）。
引理④，diHp^w（di∈Dp^w）积集，是Hi^w素数幂环里的，所有含有di因子数的元素的子集。这些子集里的元素的数量为：dih（p^w）= p^w/di。
引理⑤，diΦpi^w（di∈Dpi^w）积集，是Hp^w幂环里的，所有仅含有di因子数的元素的子集。全体diΦp^w积集的并，即为Hpiw幂环里的全体元素：∪diΦi^w=Hp^w。diΦp^w积集里的元素的数量为：diφ（p^w）=φ（p^w/di）。由此得到Hp^w幂环里，高斯的欧拉函数之和公式为：∑φ（di）=p^w。这个欧拉函数之和公式十分重要，不知是否真的是高斯推导出来的，因为高斯对于这个公式并不重视。
生成元定理：Hp^w（p≠2）素数幂环，具有下面重要定理：Hp^w（p≠2）素数幂环里的Φp^w欧拉群，全部都是循环群。Φp素数群的原根g，全部都是其Φp^w欧拉群的生成元。
证明：如果g是Hp素数域的任意一个原根，即有g^(p-1)≡1（mod p），g^(p-1)=kp+1。若令s= p^(w-1)，那么此式两端的s= p^(w-1)次方为，[g^(p-1)]^s=（kp+1）^s。上式右端展开为：
（k pi+1）^s =0CS（kp）^s +1CS（kp）^（s-1）+2CS（kp）^（s-2）+…+（S-1）CSkp+SCS
=sp[0CS（kp）^s +1CS（kp）^（s-1）+2CS（kp）^（s-2）+…+（S-1）CSkp]/sp+1
令j= [0CS（kp）^s +1CS（kp）^（s-1）+2CS（kp）^（s-2）+…+（S-1）CSkp]/sp则为：
[g^(p-1)]^s=（kp+1）^s= jp^w+1，即有g^[(p-1) p^(w-1)]≡1（modp^w），于是本定理得证。
3，H2^w素数幂环的特性。
H2^w素数幂环同样具有上述Hp^w（p≠2）素数幂环的五条引理，但是却不具有上面的生成元定理。然而，其下面的最大周期元素定理也是极为重要的。
最大周期元素定理：H2^w素数幂环里的Φ2^w欧拉群，由于其元素的最大周期为2^(w-2)，因此，Φ2^w欧拉群全都不是循环群。但是，Φ2^w欧拉群里的全体元素，仍然能够两两结对乘法互逆。
证明：在所有的素数幂环里，H2^w幂环里的Φ2^w欧拉群最为特殊。Φ2^w欧拉群的全体元素，正是H2^w幂环里的全体的奇数，其数量相对最少。我们可以将这些奇数，分为4k+1形数，和4k-1形数二类。
令a=4k+1，s=2^(w-2)，则有：
a^s=（4k+1）^s=0CS（4k）^s +1CS（4k）^(s-1)+…+(S-1)CS（4k）+SCS
=2^w[0CS（4k）^s +1CS（4k）^(s-1)+…+(S-1)CS（4k）]/2^w+1
即得a^2^(w-2)≡1（mod 2^w）
其实，由于指数s=2^(w-2)是一个偶数，因此令a=4k-1也是一样的。这就是说，Φ2^w群的元素的最大周期只能为2^(w-2)，不能是Φ2w群2^(w-1)个元素的生成元。由此证明当w＞2时，所有的Φ2^w群都不是循环群，然而当时w≤2时，它们却是循环群。显然，3和5是所有的Φ2^w群里的最大周期元素。
由于Φ2^w群的元素的最大周期为2^(w-2)，因此，Φ2^w群的任何一个元素a的2^(w-2)次方全都为1。那么，a与a^[2^(w-2) -1]即为一对乘法互逆元素，这是因为a×a^[2^(w-2) -1] = a^2^(w-2)≡1（mod 2^w）。