费马小定理（又名分割定理）只列一式就能证明（用《分角定理》）

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费马小定理（又名分割定理）只列一式就能证明（用《分角定理》）

  已知：矩形ABCD，AB=√2AD，以AB为直径向外作半园上一点P，连PC、PD交AB于E、F。                                                  求证：AE2＋BF2＝AB2
         新要求：只列一式（中心证式）。国内梁绍鸿著的《初等数学复习及研究（平面几何）》中有此题，国内已作出题解，有人说：解法太繁，不忍卒读，故作出简解如下：
作PH⊥EF于H→PH2=AH·BH及△ADF∽△PHF、△BCE∽△PHE㈠ 。设PH=h→h2=AH·BH㈡,AF=x,BE=y, AD=BC=1→AB=√2 。由㈠→x/1=FH/h，y/1=EH/h㈢。以上为由已知条件推出的关系式。
由㈢→FH=hx，EH=hy⑴。→AH=x(1+h)，BH=y(1+h)⑵。→AB=(1+h)(x+y)= √2⑶。→
1+h=√2/(x+y)⑷。→h=[√2－(x+y)]/(x+y)⑸。⑵代入㈡→h2=xy(1+h)2⑹，⑷⑸代入⑹→
{[2－2√2(x+y)+x2+y2+2xy]/ (x+y)2}=[2xy/(x+y)2] →2－2√2(x+y)+x2+y2=0⑺。
由AE2+BF2=（√2－y）2＋（√2－x）2=2＋2－2√2(x+y)＋x2＋y2⑺代入=2=AB2。
证明过程共用了7式，其实只用一式（中心证式）就能证明。
现用《分角定理》作出简解如下：
先变结论→AE2=AB2－BF2→x2+2x·EF+EF2=AB2－(AB－x)2=
AB2－AB2+2x·AB－x2→EF2=2x(AB－EF－x)=2xy※。
此时问题变为：只要证明了※，就是证明了结论。
作PH⊥EF于H,延交CD于G，设PH=h,AF=x,BE=y, AD=BC=a→AB=√2a →
AB2=2a2㈠，h2=AH·BH㈡ 。由△PEF∽△PCD→h/AG=EF/CD→h2/AG2=EF2/AB2㈢。
由tan∠PAF=h/AH, tan∠PBE=h/BH, →tan∠PAF·tan∠PBE=h2/(AH·BH) ㈡=h2/h2=1㈣。
由AD外分∠PAF，由《分角定理》 →
（PF/PD）=（sin∠PAF/ sin∠PAD）×(x/a)=( sin∠PAF/ cos∠PAF)×(x/a)=tan∠PAF×(x/a)= （PF/PD）=
(h/PG)=(PE/PC)(同理)= tan∠PBE×(y/a) →tan∠PAF×(x/a)= (h/PG)= tan∠PBE×(y/a)（五）。
（一）至（五）为由已知条件导出的关系式。
由（五）→（2xy/2a2）×tan∠PAF·tan∠PBE㈣=(h2/AG2) ㈢=( EF2/AB2) =（2xy/2a2）㈠=（2xy/AB2）→EF2=2xy※。(中心证式只列一式)。证毕。

广西河池市河池供电局                古稀老人             张光禄2005，7，1

林新力

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俞根强，闹蠢货，挫折面前瘪气了----------唉，网络数学家，过于脆弱了--------俞氏门庭的荣耀，，，还要不要？