[分享]非齐次常系数线性递推关系的解

elimqiu

设k > 0 是整常数， c(j) 是常数，Q 是多项式，P是具有整数周期的周期函数。
考虑关系式 【★】  c(k)X(n+k)+ … +c(1)X(n+1)+c(0)X(n) = Q(n)P(n)    （n= 1,2,…）
首先，【★】在什么条件下能够确定一个满足它的数列{X(m)}？
其次，如【★】有解数列{X(m)}，如何得到其一般项的解析表达？

elimqiu

容易看见，只要 c(k) ≠ 0, 初始值与【★】相容，那么【★】就有解序列。
设 P 有最小正整数周期 L， 那么 Q(n+L)P(n+L)-Q(n)P(n)= (Q(n+L)-Q(n))P(n)
所以只要 Q 不是常数， 那么Q(n+L)-Q(n) 的次数就低于 Q(n).原来的问题的解必为
c(k)X(n+k+L)+ … +c(1)X(n+1+L)+c(0)X(n+L) - (c(k)X(n+k)+ … +c(1)X(n+1)+c(0)X(n)) = (Q(n+L)-Q(n))P(n)
的解。
重覆使用这个变换可知问题归结为 c(k)X(n+k)+ … +c(1)X(n+1)+c(0)X(n) = P(n)
对某整数周期的P 有没有解的问题。
如果再次使用上面的变换，问题就归结为有相应初值约束的齐次线性递归的问题，而后者有解的通项解析表达是很经典的结果。
令 P 为常数 1 可知 c(k)X(n+k)+ … +c(1)X(n+1)+c(0)X(n) = Q(n)
有解的解析通项表达。

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，