求所有实数 a ，使得 25^x-3a5^x+a^2+1=0 在区间 (0,1) 中恰有一个根（重根算一个根）

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

关于 (5^x) 的方程： 25^x -3a * 5^x + a^2+1=0； 其解可表示为
5^x =(3a 土 根号（9a^2 - 4a^2-4）)/2 = (3a 土 根号（5a^2 -4）)/2

根据题意有两组可能的符合条件结果
1） 5a^2-4 = 0 并且 3a/2 落在（1,5）区间

2）5a^2-4 > 0 并且：
{
3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 在 （1,5）区间
并且 3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2 <=1

或者

3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2 在 （1,5）区间
并且 3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 >=5
}

第一种情况： 5a^2-4=0 , 即 a= 土 2/根号5 ；
其中，a= - 2/根号5, 使得 3a/2 <0, (不在（1,5）区间，故舍弃)。
a= 2/根号5， 使得 3a/2 =3/根号5。 （可以满足在（1,5）区间的要求，故属于所求结果集合）

第二种情况，首先要求 5a^2-4 >0，
即 a < -2/根号5 和 a > 2/根号5 两段区间

a<-2/根号5时，
3a/2 - 根号（5a^2-4） /2 <0
3a/2 + 根号（5a^2-4） /2 < 3a/2 + 根号（5a^2）/2=( (-3 + 根号5） |a| ) /2 <0
没有符合条件的结果。

a>2/根号5时： 3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 是增函数 【因其导数：1.5+2.5a/根号（5a^2 -4） >0】
且总是大于 3a/2 > 3/根号5 >1
方程 3a/2 + 根号（5a^2 -4）/ 2 = 5 在此区间有唯一根 a=2
即：a属于（2/根号5，2）区间时， 3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 在 （1,5）区间
a>=2时， 3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 >=5


方程 3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2=1 在此区间有根 a1=1，a2=2
容易举例验证:
a在  (2/根号5，1） 区间内，  3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2   会大于 1  
在【1,2）区间内， 3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2 会小于等于1
a>2时， 3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2 会大于1
即： 【1,2）区间符合要求。


方程 3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2=5 在此区间有唯一根 a=13
所以，当a在（2,13）区间时， 3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2 属于（1,5）区间。


所以，第二种情况，当a属于  [1,2）时
3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 属于（1,5）区间
3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2  <=1

当a属于（2,13）时，
3a/2 + 根号（5a^2 -4）/2 > 5
3a/2 - 根号（5a^2 -4）/2 属于（1,5）区间。
符合要求。


综合起来，本题答案：a的解集合 = { 2/根号5} U {x| 1<= x <2} U  {x| 2<x<13}

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。