四色猜想与五个构形-特稿

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                                                                          四色猜想与五个构形-特稿
                                           投稿时间：2015-09-01 10:38 投稿人：陈陶


    摘要：作者另辟蹊径，采用独特的研究方法，用肯普定理、第二数学归纳法等，证明了四色猜想。

    关键词：四色猜想；着色模式H；肯普定理；五个构形；第二数学归纳法

    一四色猜想

    一张纸或地球仪上的每一幅正规地图，至多需要四种色，就能使相邻（有共同边界）的国家着不同色。限制是：每个国家必须连成一片；两个国家的共同边界必须是条线，而不能是一点或一些孤立的点；没有一个国家包围其它国家，也没有三个以上的国家相遇一点。

    二背景简介

    对每一幅正规地图的四着色， 1976年，美国数学家利用计算机证明了四色猜想。关于书面证明，从1852年问世至今，未彻底解决，它与费尔马大定理和哥德巴赫猜想一起，成为了世界近代三大数学难题。1879年，肯普发表了四色猜想的证明，该证明被赫伍德指出有错。160多年来，或用传统方法，或用一些新方法，但仍不能解决问题。在国内外，研究四色猜想持续进行，力图破解，甚至有人不惜把一生都奉献于此。总之，迄今为止，世界上还没有得到国际数学界普遍承认的证明，深层次问题恐怕是应用的方法存在致命的缺陷，导致破解遥遥无期。如今，从纯理论上已揭开“四色”之谜。

     三 公理 定理 引理

    公理  对每一幅正规地图四着色，“中心国”C的m（m≥2）个邻国（围成一圈）的着色必须满足：ⅰ，m是偶数，用两种色相间着色或其中一国用第三种色着色；ⅱ，m是奇数，用两种色相间着色后，总有一国用第三种色着色。把这种关于中心国C的邻国的着色必须满足的模式记为H-色码排序，简称为（着色模式）H（公理仅规范了中心国的邻国的着色，H的用色具有规律性和简约性，优化了后继着色环境。1、2、3、4为色码，不会混淆）。

    肯普定理  在每一幅正规地图中，至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每一国都有六个或更多个邻国的正规地图。

    引理  在正规地图中，若每一国的邻国数都不小于五，则四色猜想成立。

    证：把每一国的邻国数都不小于五的正规地图称为五个构形。在五个构形中，类似图二1，中心国‘C’的邻国数能是数列6、7、8、…、n、…（☆）中的项； ‘C’的邻国外圈的国家数也能是☆中的项，第四圈只有一国，这就得到了国家数是数列14,16,18, …, 2n , …中的项；将得到的国家数相对应的图中的‘C’恰当地一分为二（因☆中的项都不小于六，分成的两国能满足五个构形），又得到了国家数是数列15,17,19，…，2n+1，… 中的项。将12与后两个数列合并就得到了国家数的集合是｛12,14,15,16，…，n，…｝（这里仅确定了五个构形的国家数的集合，并不表明其结构一定如此，即使国家数相同，也有结构不唯一的。如：一幅五个构形的14国地图，有三种情况）。

    若n=12，则每一国的邻国数恰好都是五。如图一（其它结构可转化为此），四色猜想成立，且中心国‘4’的邻国着色符合H-12123。

    ⑴当n=14时，如图二，每圈的国家数由内到外依次为1、6、6、1，1、5、6、2或1、5、‘7’、1。任取有五个（或取有六个的，构建相应的H-121212及其它国的着色）邻国的C为中心，对十四国着色，先将C的邻国的邻国A和B视为国E，根据公理，构建C的H-1212，不妨图二1、2中的E-1（E着色〔是〕1），图二3中的E-2；其次，缘着H向外围的国家逐个着色，能使相邻国都着不同色（其它圈上的国家着色不一定符合H），且C-4。把图二中的B换成色3，四色猜想成立，且C的邻国着色符合H-12123。

    ⑵假设n≤k（k≥14）时，四色猜想都成立，且是按类似⑴的操作方法、程序和步骤对k个国家至多用四种色着色，能使相邻国都着不同色。即是说，不仅假设了四色猜想成立，还假设了最终能使“中心国”C的邻国着色符合H，即H-12123，H-12…123或H-12…12（邻国数依次是五、不小于七的奇数、不小于六的偶数）之一（处理过程中允许出现邻国数小于五的“国家”，如在⑴中）。

    那么，当n=k+1时，【国家数是k+1和k的地图结构未必相关联，从16国到17国易验证】分两种情形：ⅰ，不存在两邻国P和Q，使P的邻国数是五、Q的邻国数大于五，即当P的邻国数是五时，P的任一邻国Q的邻国数是五，故，Q的任一邻国的邻国数是五。否则自相矛盾。如此经有限次，则每一国的邻国数都是五，且此时只能是n=12。由内到外每圈的国家数依次是1、5、5、1，如图一。四色猜想成立，且中心国‘4’的邻国着色符合H-12123。ⅱ，存在两邻国P和Q，使P的邻国数是五、Q的邻国数大于五，则P和Q及其邻国的结构关系如图三、图四。①，若Q的邻国数是不小于七的奇数，如图三，将A、P、B三国视为国E（根据⑴及归纳假设，可能出现E的邻国数小于五，这是允许的，如在⑴中。下同），则国家数是“k–1”，且Q的邻国数是不小于“六”的偶数。根据公理，构建Q的H-12…12，不妨E-1。根据归纳假设，“k－1”个国家中相邻国都着不同色，且D-2（D着色是2）或3或4，不妨D-3，也不妨Q-3。将P换成色4，则k+1个国家中相邻国都着不同色，且中心国Q的邻国着色符合H-12…124。②，若Q的邻国数是不小于六的偶数，如图四，将F和P视为国E，则国家数是“k”。根据公理，构建中心国Q的H-12…12，不妨E-1。根据归纳假设，“k”个国家中相邻国都着不同色，且G-3或4，不妨G-3，也不妨Q-3。将P换成色4，则k+1个国家中相邻国都着不同色（①、②中也可视P为中心国）。即是说，当国家数n＝k+1时，四色猜想也成立。引理得证。

     四 证明四色猜想

     证：众所周知，对一张纸或地球仪上的每一幅正规地图着色，要使相邻的国家着不同色，四种色是必需的。

     当n=1、2、3、4时，显然，四色猜想成立。

     ⑴当n=5时，有三种结构，每一圈的国家数由内到外分别依次为1、2、2, 1、3、1或1、4。每一国的着色如图五，四色猜想成立，且“中心国”C的邻国着色符合H-12，H-123或H-121（2或3）。

     ⑵假设n≤k（k≥5）时，四色猜想都成立，且“中心国”C的邻国着色符合H；

那么，当n=k＋1时，根据肯普定理，分两种情况：

     ⅰ若含有邻国数不大于四的国家

     ①含有邻国数是二或三的国家

     此种情形，令C的邻国数为二或三，如图六，将相邻的C与A两国视为一国E，则国家数是“k”，根据归纳假设，所有相邻的国家都着不同色。因E与B两国或E、B、D三国至多用三种色着色，故， C至少能换成第四种色。从而，四色猜想成立，且至少（若因换色而使归纳假设中的H恰好“消失”。下同）“中心国”C的邻国着色符合（型）H-12或H-123。

    ②含有邻国数是四的国家

取一个邻国数为四的国家C，在C的邻国中，将不相邻的两国A和D与C三国视为国E，则国家数是“k－1”，如图七，根据归纳假设，所有相邻的国家都着不同色。因E、B、F三国至多用三种色着色，故， C至少能换成第四种色。从而，四色猜想成立，且至少“中心国”C的邻国着色符合(型)H-121（2或3）。

    ⅱ若不含有邻国数不大于四的国家，则每一国的邻国数都不小于五，根据引理，此种情形对12及不小于14的自然数四色猜想都成立。归纳完成。

    综上所述，国家数为正自然数的每一幅正规地图，四色猜想都成立；且成为四色定理（论证若有错，请具体指明错处及原因或根据★四川省岳池县白庙职中陈陶）

    附：证明示意图（详见：出师表大叔新浪博客。谅）








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