[求助]请陆教授指导：最大公约数问题

Bardo · 发表于 2010-8-15 22:46

我们都清楚，求出两个整数的最大约公数相当简单。
可以，当我们了解，两个无理数，或两个复数，肯定有一最大公约数，并且，这个最大公约数是整数，我们该如何求？
再特别一些，两个形如一元二次方程的根的形式的无理数或复数。我想如果这种形式的能解出，所有的形式是不是均能解出？
如果求出这样的解？

wanwna · 发表于 2010-8-15 22:59

你先给出最大公约数的定义吧

Bardo · 发表于 2010-8-15 23:08

[这个贴子最后由Bardo在 2010/08/15 11:10pm 第 2 次编辑]

很明显，最大公约数，相对于整数，肯定是整数。
相对于高斯整数，也一定是整数（可能这种说明不完全正确。但我这里想要的，就是整数，所以，假设的前提就是整数存在）。
但现在问题是，我首先想请教，相对于高斯整数的最大公约数如何求？
另外，除高斯整数外，其它形式的就是复数也是有最大公约数的。所以，我想了解其一般解法。
（当然，再声明一下，我不会解高斯整数的最大公约数，所以这才想请教。不过，楼上的可能不了解高斯整数的最大公约数吧？否则还要问什么定义呢？）

wanwna · 发表于 2010-8-15 23:28

对于像复数域实数地这样的环，里面已经不存在不可约元，不存在真因子一说，于是一般来说无法定义类似整数环里那样的最大公因子了。
对于高斯整数环，是可以求出最大公因子的
高斯整数环是欧氏整区，也可以通过相除法来求最大公因子

Bardo · 发表于 2010-8-15 23:33

你的意思是说，是不可求，还是不存在？
因为我能证明，对于一些特定的数，肯定是存在的，但无法求。
所以，我才想到，是否能找出一个方法，来求出这个最大公因子。

wanwna · 发表于 2010-8-15 23:34

要去求，首先得定义什么叫最大公因子，代数学上对最大公因子有一套标准的定义

Bardo · 发表于 2010-8-15 23:46

以下这个链接，来自GOOGLE图书，是华沙1964年版的《初等数论》，讲的是高斯整数的最大公约数。
http://books.google.com.hk/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA453&lpg=PA453&dq=%22Greatest+common+divisor+of+complex%22&source=bl&ots=DrIy4arwWZ&sig=4Qp34IMqePBbuoPs5RECKkv-8Cc&hl=zh-CN&ei=dftnTKzyDJHsvgOOwsD-Aw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CCAQ6AEwAQ#v=onepage&q=%22Greatest%20common%20divisor%20of%20complex%22&f=false
可以看出，仍是欧几里德算法
现在最大的问题，如您所说，也就不不可约元的问题。难道真的无法求出来？

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