ΔABC 内接于圆心为 O、半径为 r 的圆，向量 OA+√3OB+OC=0 ，求 ΔABC 最小角的余弦

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

zyhlcj

可以推出：cosAcosBcosC=(2√3-3）/8

zyhlcj

可以推出：cosAcosBcosC=(2√3-3）/8

luyuanhong

Future_maths

做得太复杂了。

Future_maths

波斯猫猫

提示：以OA和OC为邻边作平行四边形AOCD（实为菱形），所以向量OA+OC=OD。由条件有向量OD=-√3OB，即线段OD=√3r。在三角形OAD中，由余弦定理易得∠A=120度, ∠O=30度。从而在三角形ABC中（B、O、D共线），根据对称性有，∠A=∠C=75度，，∠B=30度。

luyuanhong

谢谢楼上 Future_maths 和 波斯猫猫 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是网友 YAG 看了第 6 楼 YAG 的解答后，

在“陆老师的《数学中国》园地”中发的一个帖子：

題目中 O 是三角形外心 但是為何 6f 解答是說 O 是三角形內心 ?

所以內心外心是同一點嗎?

Future_maths

看错了，但是证明方法是一样的，结果也一样。