与网友谈“构形”的贴子整理

雷明85639720

与网友谈“构形”的贴子整理
雷  明
（二○一五年九月十四日）

8,17，回复张彧典先生的《解答12341234先生的问题》：
12341234所要求对这个构形的着色实在是太容易了，这个构形本身连一个顶点也没有着色，相当于一个图一样，不同的人可给出不同的解法。这里关键盘的问题是我们这位2341234数字权威大人，他就不懂四色猜测，不懂什么是构形。他就不知道构形是一个只剩下一个顶点未着色的图（当然我是不同意构形中有若干个未着色顶点的这种说法的），它都没有给出所谓围栏顶点的颜色，这算什么构形呢。12341234所给出的图，他说是一个构形，其中有4个待着色顶点，而张先生对其在着色时，还不是要把它看成是只一个待着色顶点的构形吗，这不就是一个5—轮构形吗。你用这么多的待着色顶点能代替得了5—轮构形吗。所以我就认为用别的构形来代替5—轮构形就是错误的，也不可能代替了，是一种绕着矛盾走的办法，最终还是不能绕过的。一个构形，其围栏顶点一定是要占用完了4种颜色的，而你这里的构形围栏顶点却有6个，占用四种颜色的方式有：其中一种颜色使用了三次，也可以是其中两种颜色分别使用了两次，你没有给明白，让别人怎么去着色呢。
9，1，回复图论《简谈构形》：
我认为构形就是只有一个顶点未着色的图。解决了这个未着色顶点的着色问题（该顶点一定要着上图中已用过的颜色这一），这个构形就是可约的。我仍认为一个构形不可能有若干个未着色顶点，因为这样的顶点再多，你总得一个一个的去着，当剩下最后一个未着色顶点时，这不仍是一个只有一个未着色顶点的构形吗。张彧典先生和我对12341234提出的王树禾先生的书中的图5.16不就都是先把其中的三个未着色顶点（该构形中共有四个未着色顶点）着上颜色后，才对剩下的一个未着色顶点着色的吗。关链的问题是在于最后一个未着色顶点能不能着上图中已用过的颜色之一，并不在于未着色顶点的多少。所以我认为，用{5，5}或{5，6}来代替5—度顶点构形是一种回避矛盾的方法，在{5，5}构形中，当把其中一个5—度未着色顶点着上颜色后，还不就是一个5—度顶点的构形吗。阿贝尔能把{5，5}构形解决，这不等于也把5—度顶点的构形解决了吗。我不明白为什么非要用{5，5}构形去代替5—度顶点的构形呢。
9，3，回复图论《简谈构形》：
1、11223344所说的张彧典先生所画的那两个图是可约的，这是大家早就清楚的。但并不是11223344所说的（5-5）和（5-6）这两个有两个待着色顶点的构形，他们都只是各有一个待着色顶点的。而且张先生的文章中从没有出现过有两个以上待着色顶点的构形。不知11223344这位数字先生是如何给有两个待着色顶点的构形着色的（如你的5-5构形和5-6构形），最好是能亲自进行一下着色，发表在这里，我们也向你学习学习，你不要老是在介绍别人是怎么着色的。只有这样你11223344也才能知道你们所坚持的用有多个待着色顶点的构形来代替只有一个5—度顶点的构形是不是科学了。
    2、图论1943说：“由于论证的方法不同，所站角度不同，所需构形就可不同。利用你想的论证法来考虑，所有的人都将产生和你一样的疑问。你的这个疑问是自然产生的，我是理解的。”那么就请你说说在什么情况下可只用到有一个待着色顶点的构形，而又在什么情况下必须要用到有多个待着色顶点的构形呢。用有多个代着色顶点的构形又是即于什么样的论证方法呢。“利用你想的论证法来考虑，所有的人都将产生和你一样的疑问。”这里“我的论证方法”是什么呢，我的凝问又是什么呢。
9，3，回复图论1943《再谈构形之一》：
我理解的构形就是“只有一个顶点还没有着上图中已用过的若干种颜色之一的带色的图”。雷明
9，3，回复图论1943《再谈构形之二》：
1、"不可免完备构形集"什么意思呢？
2、可约的构形，即是构形中的待着色顶点能够着上图中已用过的颜色之一的构形。待着色顶点要着上图中已用过的四种颜色之一，就必须想办法把与待着色顶点相邻的顶点所点用的颜色数通过调色的办法由原来的四种减少到三种，把减下来的这一种颜色给待着色顶点着上即可。
    3、张彧典先生研究的只能是一种着色的方法，我认为它还不能算作是对猜测的证明。九个构形外是否就再没有别的构形了，我认为张先生并没有真正证明这问题。因为张先生的这九个构形用不同的着色方法仍是可以着色的，并不是只有张先生的方法才能对其4—着色。
9，4，回复图论《简谈构形》：
朋友，你对张先生提出的，罗伯逊的633个构形中“为何不含{5,5}，{5,7}，{5,8}，{5,9}等类构形？请网友们想想。”这个问题提得好。一，这说明罗伯逊等从并没有说明为什么只有这633个构形（或者是近两千个构形）；二，说明了构形中即就是包含了你说的{5,5}，{5,7}，{5,8}，{5,9}等类构形，但还是没有包含{5，100}等构形。这样的话这个构形集就是一个无限集，永远也是构造不完的。即然待着色顶点可以是若干个，那么也就可以是无限多个，当然这个构形集就是无限集了。所以我仍然坚持，一个构形只有一个待着色顶点，平面图的不可免集是一个有限集，即已经过证明是正确的、平面图中至少含有一个顶点度不大于5的顶点，以这5种顶点为待着色顶点的构形就是平面图的不可免构形集，这应该说是一个完备集，除此之个，就再也没有任何其他的不可免构形了。雷明
9，4，回复图论1943《再谈构形之二》
有“不可免构形集”，是说在任何平面图或任何地图中都不可避免的至少含有该集中的一个元素（构形）。而“不可完备构形集”是不是说平面图或地图的构形集是永远也不可完备的呢。如果是这样（你是不是这样理解，我不清楚），就是说根本就不存在构形集了呢。然而张先生在书中却一直是在说他的九大构形是一个非常完备的构形集，在该集以外就再也没有别的不可免构形了。如果是这样的话，张先生把“不可完备构形集”用在书中第13页这个地方，是不是说由该页中的那几个图构成的不可免集是不完备的呢。真是这样的话，就不应说是“不可完备构形集”而应说成是“不完备的构形集”了，多了一个“可”字就叫人没法理解了。如果使用“不完备的构形集”，这就成了对由该页的三个图构成的不可免集是一个否定，这样才能合乎张先生从前到后所论述的目的。朋友你看是不是这样的呢。
9，4，回复图论1943《再谈构形之二》
张先生，我在上一贴把“不可免完备构形集”误打成了“不可完备构形集”了，这一字之差意思也就反了。现在已清楚了，张先生这里所说的由那三个图构成的构形集也是完备的，这是大家通常用所认为的平面图或地图的不可免构形集。看来5—度顶点的构形是不可免的，可机器“证明”中却把5—度顶点排斥在外，用一个什么（5-5）构形和（5-6）构形代替，能行吗。即就是能行，这两个构形着色时还不是要先给一个待着色顶点先着上颜色后，才能再给另一个待着色顶点着色吗，这不又是只有一个待着色顶点的5—度顶点的构形吗。
9，6，回复图论1943《再谈构形之三》
“G具有任意n(n大于12）个点”，n既是任意的，又是大于12的，这是矛盾的。按汉语的习惯，后面括号中的文字是对括号前的词的注释，其意思应是相同的。但你这里显然是不同的。同时也不知你这里为什么来了一个“n大于12”，这个12是什么意思。
    我们在研究四色问题时，技术术语应尽量用图论中已有的术语，这样别人也易看懂，自已看别的书或论文时也容易一些，因为有了共同的语言。如果要定义一个新的术语时，则一定要定义清楚，别人也就好理解了。
9，9，回复图论1943《再谈构形之三》
图论中对偶图本来就是指把图的各个面中的“中心点”作为新的顶点，把相邻面的“中心点”用边连接起来所构成的新图。这与你那个“域点图”还不是同一个道理吗。当然了，你叫做“域点图”也不是不可以，只是与大家平时的叫法不同而已，其实质是相同的。
9，12，张彧典先生的《解答12341234先生的问题》后面有12341234数字先生的评论，我的回复是：
不是极大平面图的图更容易着色，张彧典把图5.16的构形改为极大平面图了，都能4—着色，就说明王树禾图5.16那个构形是可约的。要知道，相同顶点数的图，从极大平面图变成非极大平面图时的色数是不会再增加的。难道这个构形的色数还会大于4不成吗。王树禾在这里明明说的都是三角剖分，即极大图，而“很好”却硬要说这里是一个非极大图，不知是为什么，也不知他看明白了没有。张彧典先生在王树禾的图5.16中增加的几曲线，并不是只是几条边，而是几条二色链，你认为张先生是把图变成了极大图也可以（当那几条链都是单边链时的情况），认为仍是非极大图（当那几条链都是非单边链时的情况）也可以。总之张先生增加的是链，而不只是边。在研究构形是否可约时，一般都是认为除了待着色顶点外，其他顶点是一个可4—着色的图，且构形的围栏顶点已占用完了四种颜色。可是王树禾对图5.16的着色时，其围栏顶点却只占用了3种颜色，这样的构形的着色并不是很难的，而难着色的构形则是围栏顶点已点用完了4种颜色的情况。王树禾对图5.16的构形着色中，认为其围栏顶点的“好着色”中，既有只占用了三种颜色的，也有占用完了四种颜色的，在他的所谓“坏分布”中，其围栏顶点也有占用完了四种颜色的，也有只占用了三种颜色的。不知道王的“好着色”和“坏分布”的标准是什么，概念是什么。我认为看书一定要看明白，不明白就要提出来，不能人家怎么说，自已也就怎么念。这永远是跟在别人后面跑，总是不会有自已的主见的。我看这里有一些人就是持这种态度的，书上怎么说，自已就怎么哼，完全没有自已的一点主见。这看书还有什么用呢。
9，12，对张彧典《Wernicke 定理的不同应用》一文的回复：
1、我认为构形就是“只有一个顶点还没有着上图中已用过的若干种颜色之一的带色的图”。张先生的构形也是这一类，其书中没有一个构形的待着色顶点是多于1的。张先生虽认为{5，5}构形能代替5—度顶点构形，但他实际在给这个{5，5}构形着色时，仍是先给一个5—度顶点着上颜色，剩下的仍是一个5—度顶点构形。他把这个5—度顶点着上了图中已用过的四种颜色之一，本身就说明了5—度顶点构形是可约的，不需要用什么{5，5}、{5，6}构形再代替5—度顶点构形的。
    2、张先在这篇文章中的图3本身就是一个非H—构形，是同时可以移去两个同色B的，给待着色顶点V可着B色。而图4本身就是赫渥特图的简化图——“九点形”图。
    3、张先生采纳了我的意见，把九个构形简化为三个构形，把第一、第三、四、五、六、七、八构形归为一类，我认为其中的第八个构形还与其他的构形有所不同，第八个构形是不能同时移去两个同色B的，是一个H—构形，而其他几个构形均是可以同时移去两个同色B的，并把B给V着上，都是非H—构形。应该说张先生的图中只有构形二，构形八，构形九三种构形是属于H—构形，其他的都不是H—构形。这三种构形的解法，虽各有各的单独解法，也有共同的解法，都可用张先生的H—换色程序的解法，但只用一次赫渥特颠倒后就可使构形变型，用各种构形的各性解法即可4—着色，其着色方法仍然还是用的坎泊的颜色交换技术。
9，12，回复图论1943《再谈构形之一》：
1、按你这样的说法，构形内可以有若干个待着色顶点，那么构形就可以有若干个，这“若干”二字也可以理解为“无限多”，平面图的不可免集的元素就可能是无限多的。所以把平面图的不可免构形集锁定在2000个或1000多个或多或633个元素，就是错误的。
    2、如果构形内只有一个待着色顶点时，加之平面图中至少有一个顶点的度是小于等于5的，就可以把平面图的不可免构形集中的元素个数锁定在5以内。即度不大于5的顶点，这样才可以把一个无限的问题变成一个有限的问题。另外，待着色顶点再多也要去一个一个的着色，当最后只剩下一个顶点时，不也是只有一个待着色顶点的构形吗。
    3、张先生所有的构形中都只是一个待着色顶点，在这方面他和我的观点是一样的，你的回复中所说的不就是我上贴中的构形就是“只有一个顶点还没有着上图中已用过的若干种颜色之一的带色的图”吗，张先生的图都是这样的。
9，13，图论1943《再谈构形之一》后面有1234567数字先生的评论，我的回复是：
我认为王树禾先生对其《图论》一书中的图5.16这个构形的着色存在着以下的问题：该构形有4个待着色顶点，有6个围栏顶点。王先生在对六边形的围栏顶点着色的31种色分布中，有用了3种颜色的，也有用了4种颜色的，这不符合围栏顶点全部占用完四种颜色的要求；王先生的所谓“好着色”与“坏分布”这两个概念不清，或者说就没有给以定义，因为在“好着色”和“坏分布”中均有既在围栏顶点中用了3种颜色的，也有用完了4种颜色的，使人不知道什么样的着色是好着色，什么样的是坏分布；进行坎泊链交换的目的是要把围栏顶点所占用的颜色由4变成（减少到）3，空出一种颜色给待着色顶点，而王先生在这里却明确说的是把围栏顶点所占用的颜色由3变成（增加到）4（在这里王说把围栏顶点的“坏着色121313能转换成‘好着色’121213和121343”），请问，这时待着色顶点该怎么着色呢？还有一点，王先生在这里谈到用坎泊链法时，也没有考虑所交换的链在围栏顶点中是否构成了连通链或者叫环链的问题。连通时则不能交换，交换了也达不到减少围栏顶点所占用颜色多少的目的，而只有不连通时才可交换，也才能达到减少围栏顶点占用颜色的目的。另外，王先生谈到使用坎泊链法时说“这只要把Kemple链上的1与4或2与3互换即可”。既没有指出是交换那个顶点上的1与4或2与3（因为该构形的围栏顶点上有3个着1色的顶点，两个着3色的顶点和一个着2色的顶点），也没有考虑所交换的1—4色链和2—3色链是否连通的问题。以上问题，请网友们考虑。雷明
9,13，图论1943《再谈构形之一》后面有12341234数字先生的评论，我的回复是：
12341234这位数字先生：你那样的不顾及围栏外各顶点的着色情况的着色方法，那一个不能对这个图5.16进行4—着色呢，连小孩子也可以做到。你说的“王树禾老师在《图论》第 100-101 页，是这样证明构形图 5.17(a) 是可约的 ---- 1。先设该图中间的 4 个顶点（从最上边那个顶点起，按顺时针方向）分别为 ghij。2。把图 5.17(b) 的 abcdef 各顶点分别着 121313 色。把 ghij 各顶点分别着 4242 色。3。因为 hj 这两个相邻的顶点均着 2 色，故可把 hd 两个顶点着的 23 色，互换为 32 色。于是，则有图 5.18 的 4-着色，即图 5.17(a) 是可约的！4。以上这些，是对该书第 101 页第 13-15 行“例如，……，2与3互换即可”文字的解释！”你解释了这些，还不如不解释。你明明知道待着色顶点h和j是相邻的，你为什么还要给他们两个都着上同一种颜色2呢。你把g和i着以4，把顶点h和j之一着上2，剩下的另一个顶点不就是一个度为5—的构形吗，这个5度顶点的5个邻接顶点已经占用完了4种颜色。这不就是待着色顶点的邻邦接顶点已占用完了4种颜色，如何给待着色顶点着色的问题吗。我不知你们为什么非要把这个只有一个5—度顶点的5—轮构形说成是有两个5—度顶点的双5—轮构形呢。你们不能证明5—轮构形是可约的，也不能用别的别的所谓构形来代替它而绕开矛盾走呀，你能绕开吗，最后还不是要对一个5—轮构形进行着色吗。由于这里不能画图，我将另文在你上面着色的基础上，用我说的办法，对分别以顶点h和j为只有一个待着色顶点的两个5—轮构形进行着色，来说明5—轮构形也是可约的，5—轮构形并不要用什么别的构形进行代替，也是代替不了的，客观的实际就是存在着5—轮构形，想绕着走也是不可能的。我将要进行的着色方法很可能在上次我对你提出的对该图的着色时我的着色文章里已经出现过，但那时与你对围栏顶点的用色不一定相同，所以这次我再给你着色一次，请你好好的看看，开开眼界。雷明
9月14日在图论1943《再谈构形之一》后对图论1943朋友的回复：
图论1943朋友，不管怎么样，他们都是先把若干个待着色顶点着色后，再只剩下一个待着色顶点，最后再通过坎泊交换而着色的，我和张先生的着色方法都是这样的。所以我还是认为构形中只能有一个待着色顶点。你说1234567的第二点说错了，即就是错了，那相邻的两个待着色顶点只着上一个，剩下的一个这不还是一个5—轮构形吗。对于王一树禾101页中那段话的最后一句，我是看明白了，但他这里只是说的围绕栏顶点上的着色，并没有涉及到待着色顶点的着色。我也不明白他为什么在围栏顶点的着色上下这么大的功夫呢，最络还是不知道他给那四个待着色顶点是怎么着色的。然而1234567才说到了该构形的4—着色的方法。
雷  明
二○一五年九月十四日整理于长安
注：此文已于二○一五年九月十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：