已知 p(x) 为整系数多项式，p(12)=3 ，试问：p(2012) 是否可能是某个整数的平方？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

elim

若 n 为奇数，则  n +1, n -1 之一是 4 的倍数，所以  n^2 -1 = (n +1)(n -1) 是8的倍数

由 a^k - b^k = (a -b)(a^{k-1} + a^{k-2} b + ... + a b^{k-2} + b^{k-1}) 知单项式差
( m+ 2000)^k - m^k = 2000((m +2000)^{k-1} + (m +2000)^{k-2} x + ... + m^{k-1})
是 2000 的倍数，故对整系数多项式 p,   p(2012) - p(12) 是 2000 的倍数。

若 p(12) = 3, 则有整数 k 使  p(2012) = p(2012) - p(12) + 3 = 2000k + 3 ≡ 3 (mod 4).

故 p(2012) 不是完全平方数。

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。