3，基本环的因子数及其子环子群 倪则均2015年9月19日（2014年7月8日投火花被压至今）

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1，因子数集合与因子函数。
对于Hm（m=p1p2p3…pn）合数环来说，如果合数m是n个连续素数的乘积，并且p1=2，则称这个合数环为规则合数环，否则称它为基本合数环。本文仅仅着重研究这类基本合数环的一些特性规律，《孙子算经》里的“物不知数”问题，就是举世最早的一个合数环问题，也是一个基本合数环。由于规则合数环涉及到了，素数的分布问题，以及对于自然数的质的表示，所以以后另作专题予以专门研究。
Hm（m=p1p2p3…pn）合数环里的因子数集合表示为：Dm=（1，p1）（1，p2）（1，p3）…（1，pn），这是其各个分环里的因子数的笛卡尔积。由于其各个分环都是素数域，而素数域里的因子数集合始终只有二个，除了素数p自身是其一个因子数之外，1也是其一个因子数。其实，不管是在素数域里，还是在合数环里，1既是它们的一个因子数，也是它们的一个欧拉数，这是唯一一个可以具有两种完全不同身份的元素。Dm因子数集合里的全体元素，不管是对于加法运算还是乘法运算，它们都是无法成群的，所以它们始终只能是一种类型的数的集合而已。Dm因子数集合里全体元素的数量为：
d（m）=2^n=（1+1）^n=0Cn+1Cn+2Cn+…+n-1Cn+nCn。
显然，这是一个积性函数。因此，我们可以将Dm因子数集合里的全体元素，划分成下面n种不同的类型：因子数1被称为0阶因子数，其数量为1，因为任何一个素因子的0次方都为1；因子数p1，p2，p3，…，pn被称为1阶因子数，其数量为n，显然，它们就是n个素因子；因子数p1p2，p1p3，…，pn-1pn被称为2阶因子数，其数量为n（n-1）/2；…；m=p1p2p3…pn被称为n阶因子数，其数量也是为1。Dm因子数集合里的全体因子数之和，可以表示为σ（m），也是一个积性函数。原本应该是将Dm=（1，p1）（1，p2）（1，p3）…（1，pn）展开后，然后再作各个因子数之和的运算，十分繁琐。其实，我们完全可以将这种展开后的相加求和，转变为不用展开的相加相乘：σ（m）=（1+p1）（1+p2）（1+p3）…（1+pn），岂不简捷。
那么，我们为什么可以将十分繁琐的展开后的相加求和，转变为不用展开的相加相乘呢？对此我们完全可以通过数学归纳法予以严格证明，当m=p1只为一个素数时，显然有σ（p1）=1+p1，而当m=p1p2为二个素数的乘积时，则有σ（p1p2）=（1+ p1）（1+ p2）=1+ p1+ p2+p1p2，（1+p1）（1+p2）正是Dp1p2因子数集合里的四个因子数之和。因此如果σ（m/pn）=（1+p1）（1+p2）（1+p3）…（1+pn-1），那么只要根据杨辉对于组合运算所给出的恒等关系，就会也有σ（m）=（1+p1）（1+p2）（1+p3）…（1+p1）。
2，子环与容斥原理。
容斥原理又称为逐步淘汰原则，它是组合数学里的一个基本计数理论。根据已知连续素数，寻找得到新的较大连续素数的爱拉托斯芬筛法，运用的就是逐步淘汰原则。西方数学应该是通过对于“欧拉函数”的研究，得到了对于容斥原理的初步的认识。他们将合数环里欧拉数的数量定义为“欧拉函数”，或许是由于他们经过了大量的实际演算，发现了Hm基本合数环里的欧拉数的数量为：φ（m）=（p1-1）（p2-1）…（pn-1）。
然而，那些西方的数学家们，却始终无法解释为什么这个“欧拉函数”的展开式，竟然是正负号交错相间的。于是有人胡乱定义出了一个“莫比乌斯函数”来解释容斥原理：μ（1）=1；当n能被素数的平方整除时，μ（n）=0；当n能表为相异的r个素数之积时，μ（n）=（-1）^r。由于西方数学一直未能具体给出这个“莫比乌斯函数”的实际存在，从而使得这个人为定义的“莫比乌斯函数”显得有些玄虚。
其实，Dm集合里的每一个因子数与Hm基本环的积，都会构成一个子环，因此，Dm集合里的d（m）=2^n个不同的因子数，它们与Hm基本环的积，就会构成2^n个不同的子环。其中0阶因子数1与Hm的积1×Hm仍为Hm自身，称为0阶子环。0阶子环1×Hm是Hm基本环里，所有含有因子数1的元素的集合，当然仍为Hm基本环自身。
由于PiHm（i=1，2，…，n）为1阶因子数Pi与Hm基本环的积，所以1阶子环PiHm为Hm基本环里，所有含有因子数Pi的元素的集合。1阶子环PiHm里的元素的数量为m/Pi，它们是1阶因子数Pi与Hm/pi分环的积。……，按照如此规律，我们即可得到2n个子环的元素及其数量。应该不难证明其全体1阶子环的两两之交，为全体2阶子环；全体2阶子环的两两之交，为全体3阶子环；……。
因此，如果我们要想得到Hm基本环里的，仅含0阶因子数1，不含其它各阶因子数的数，也就是Hm基本环里的全体的欧拉数，首先就要从全体的0阶子环里，去除掉全体的1阶子环。然而在去除掉全体的1阶子环的同时，将会重复去除掉了全体的2阶子环。当我们补足给全体2阶子环的同时，又将会重复补足给了全体的3阶子环。如此不断的环环相套下去，最后则是去除掉或是补足给一个只有一个元素的mHm子环。当n是奇数时为去除，当n是偶数时则为补足。于是得到Hm基本环里的欧拉函数为：
φ（m）=m-∑m/pi+∑m/pipj-∑m/pipjpk+…（-1）^n=∏（pi-1），式中i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；k=1，2，…，n。
3，子群与高斯的欧拉函数和。
由于Hm基本环里的全体欧拉数集合，对于乘法运算可以满足五条公理要求，因此这个集合构成一个交换群，专门称之为欧拉群表示为Φm。其实，Φm欧拉群只是上述0阶子环1×Hm里的一个构造子群，不妨又称之为0阶构造子群，因为这个0阶构造子群Φm里的每一个元素，它们与Hm基本环的积，得到的仍然全部都是0阶子环1×Hm。现在一般的数学书上都认为，在Hm基本环里只有一个Φm欧拉群，这种认识是错误的。其实，在Hm基本环里，它的每一个子环里，全都具有一个构造子群。例如在1阶子环PiHm里，它的构造子群为1阶构造子群PiΦm，因为1阶构造子群PiΦm里的每一个元素，它们与Hm基本环的积，得到的仍然全部都是1阶子环PiHm。
其实，在1阶构造子群PiΦm里，它们的全体元素对于乘法运算，还是完全满足五条公理要求的，仍然是两两结对乘法互逆的，只是它们的单位元不再是么元1而已。其它各阶构造子群的情况同样如此，只是它们的单位元各各不同罢了。1阶子环PiHm里的元素，是所有含有因子数Pi的元素的集合，而1阶构造子群PiΦm里的元素，则是仅仅含有因子数Pi，不含其它因子数（0阶因子数1除外）的元素的集合。
为什么Hm基本环里的各阶构造子群，都是一个乘法交换群呢？其中的道理应该不难理解，下面仅通过一个实例予以验证。H105基本环是《孙子算经》里的举世最早的一个合数环，其7Φ105={7，14，28，49，56，77，91，98}。根据下面的乘法表可知91（其同余式组为〈1，1，0〉）是其一个单位元，7与28，77与98乘法互逆，14，49，56，91乘法自逆，因此7Φ105是一个乘法交换群。
×    7    14    28    49    56    77    91    98
7    49    98    91    28    77    14    7     56
14   98    91    77    56    49    28    14    7
28   91    77    49    7     98    56    28    14
49   28    56    7     91    14    98    49    77
56   77    49    98    14    91    7     56    28
77   14    28    56    98    7     49    77    91
91   7     14    28    49    56    77    91    98
98   56    7     14    77    28    91    98    49
1阶子环PiHm里的元素的数量为m/pi，1阶构造子群PiΦm里的元素的数量为φ（m/pi），这是因为只有Φm/pi欧拉群里的φ（m/pi）个元素，它们与1阶因子数的乘积，才是仅仅含有因子数Pi，不含其它因子数（0阶因子数1除外）的元素的集合。当然，这样的计数方法，对于其它各阶构造子群同样都是适用的。显而易见，全体各阶构造子群的并集就是Hm基本环，全体各阶构造子群的元素的数量之和就是m，即有：
Hm=∪DmΦm，m=∑φ（di），di（i=1，2，…，2^n。）为的2^n个因子数。
有的数学书上将上面的第二个公式，称为高斯的欧拉函数之和公式，它实际上是反映了一个合数环里的全体元素，就是其各类因子数子群之并的数量关系。各类因子数子群则是合数环里，各类不同性质元素的集合。高斯的欧拉函数之和公式反映了，合数环里的整体的关系，而高斯自己最得意的一反二补律，只是反映了素数群里的局部关系，两者之间简直不能相提并论。这个公式，不知是否真的是由高斯给出的，这个公式的重要意义，高斯为什么会浑然不知。