求证:一非负实数的平方根若为无理数,则它与若干个非负实数的平方根的和仍然为无理数

ataorj

求证:一非负实数的平方根若为无理数,则它与若干个非负实数的平方根的和仍然为无理数
若只是考虑有限数量时的加法,
即求证:只要√a,√b,...√n中有一个为无理数,则它们的和也为无理数.[a,b,...n为非负实数]
显然,√a,√b,...√n中若存在有理数,则该有理数无关注价值,可以剔除,所以:
证明√a,√b,...√n都为无理数时,则它们的和也为无理数即可.[a,b,...n为非负实数]
证明√a,√b都为无理数时,则它们的和也为无理数即可.[a,b为非负实数]
----------------
也许上面"实数"换为"有理数"才能完全成立,下面先证明"有理数"范围内成立
证明:假设√a+√b=x,x为非0有理数,则
√a=x-√b
a=x^2+b-2x√b
√b=0.5(x^2+b-a)/x
无理数=有理数,显然不成立
证毕.
--------------

ataorj

"实数"范围内不能全部成立,比如
√a=√2
√b=1-√2
b=√(1-√2)
结论:
一正有理数的平方根若为无理数,则它与若干个正有理数的平方根的和仍然为无理数

ataorj

但是,主帖有个漏洞,√a+√b=无理数时
无理数+√c的情形没考虑...

ataorj

但是,主帖有个漏洞,√a+√b=无理数时
无理数+√c的情形没考虑...
是从这句话错起了:
证明√a,√b都为无理数时,则它们的和也为无理数即可.[a,b为非负实数]
==============
求证:a,b,c为有理数,且√a,√b,√c为无理数时,√a+√b+√c仍为无理数

证明:假设√a+√b+√c=x,x为非0有理数,则
√a+√b=x-√c
2√[ab]=xx+c-a-b-2x√c
4ab=(xx+c-a-b-2x√c)^2=(xx+c-a-b)^2+4xxc-4x(xx+c-a-b)√c
√c=[(xx+c-a-b)^2+4xxc-4ab]/[4x(xx+c-a-b)]
无理数=有理数,显然不成立
证毕.[这个主要取自elim的思路]
------------
√a+√b+√c+√d仍为无理数吗?
前面证明了√a,√b,√c,√d中任意两者,三者的和都是无理数
√a+√b+√c+√d的证明和反例都不容易进行,放弃

ataorj

有理数都可以表示为整数相除的形式,易知,下面两个命题在证明上等价:
一正有理数的平方根若为无理数,则包括它在内的若干个正有理数的平方根的和仍然为无理数
(自然数中的若干个非完全平方数)的平方根的和为无理数
当前仅仅证明了'若干'为2和3时成立

红树

自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，…
1×1=1，√1=1，2×2=4，无理数√2，√3，3×3=9，无理数√5，√6，√7，√8，4×4=16，无理数√10，√11，√12，√13，√14，√15，…

ataorj

谢谢红树,是不太严谨,更正:'若干个'为'2个'和'3个'时都成立
另外更正,补充'正的':正的平方根

太阳

ataorj网友：能不能帮忙计算数据......

ataorj

大圆半径r,中圆半径r1:
2S△ABC=2rr=r1(2r+2r√2)
r1=r/(1+√2)=(√2-1)r

小圆半径r2:
PV/HG=PD/HD
即PV/r1=r/√([r1+r]^2-r1^2)
PV=r1*r/√(r^2+2rr1)=(√2-1)r/√(2√2-1)=r/[√(4-√2)+√(2√2-1)]≈r/3
2S△IVD=2PV*r=2PV*r2+2DV*r2,而DV=√(PV^2+r^2)
2PV*r=2PV*r2+2√(PV^2+r^2)*r2
r=r2+√(1+r^2/PV^2)*r2
r2=r/[1+√(1+r^2/PV^2)]=r/[1+√(1+[√(4-√2)+√(2√2-1)]^2)]
=r/(1+√[4+√2+2√(9√2-8)])≈r/4

MN:
MN/PV=MD/PD
MN=PV*(2r2+r)/r
=(2r2+r)/[√(4-√2)+√(2√2-1)]
=r[1+2/(1+√[4+√2+2√(9√2-8)])]
/[√(4-√2)+√(2√2-1)]
≈2.06895r2
2.06895不是2,可见MN≠MP
================
这些问题,似是而非,验证比较花费时间,一般地,规律性的可能性较小时最好自己想办法解决
题目不难,认真思考相互关系,又多是常见的特殊角度,你自己也应该探索得了

ataorj