[原创]四色问题的简易证明法

鲁迅之徒

[这个贴子最后由鲁迅之徒在 2006/02/11 10:51pm 第 1 次编辑]

[watermark]四色问题的简易证明法
四色问题的内容：
任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家著上不同的颜色。
数学语言表示：
将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域单可用1、2、3、4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
在证明此题前，先阐述一个公理：
在同一平面内的两个区域只能存在以下三种形式：
1、两区域相邻（有共同的边）
2、两区域相离（没有共同的边）
3、两区域相合（即为同一区域）
以上公理设为“两公域公理“。
现在开始证明四色问题：
设定一平面L内有无限个区域，任选取其中一个区域设定为O区域，与O区域相邻的区域有m个，与O区域相邻的共同边有n个（n≥m），再设定与O区域相邻的n个共同边依次为1、2、3、4、5……n，相对应的区域也为1、2、3、4、5…….n。
下面开始论证：
一、证明1与2两个区域的关系；
1与2是相邻的区域，有共同的边，不可同色。
即：1用A色，2用B色。
故  1、2两区域最多用2种颜色区分。
此证明称为证明一。
二、证明1、2、3三个区域的关系；
1与2，2与3可用证明一法证明。
现在只需证明1与3的关系。
根据题前的“两区域公理”可知，1与3有三种形式（以下同理）。
1、1与3是同一区域，可同色。
即  1、3用A色，2用B色。
故  1、2、3区域最多用2种颜色区分。
2、1与3是相离的区域，可用同色；
即1、3用A色，2用B色。
故1、2、3区域最多用2种颜色区分。
3、1与3是相邻的区域，有共同的边，不可同色，2与1、3又相邻，不可同色；
即  1用A色，2用B色，3用C色；
故  1、2、3区域最多用3种颜色区分。
此证明称为证明二。
三、证明1、2、3、4四个区域的关系；
同理只需证明1与4的关系；
1、1与4是同一区域，可同色，那么，1与3是相邻的区域，
由证明二之3可证：
1、2、3、4区域最多用3种颜色区分。
2、1与4是相离的区域，可同色。
根据“两区域公理”可知；
（1）1与3相邻，那么2与4就相离，可同色；
由证明二之3可证：
1、2、3、4区域最多用3种颜色区分。
2与4相邻时同理。
（2）1与3相离，可同色，
由证明二之2可证：
1、2、3、4区域最多用3种颜色区分。
2与4相离时同理。
3、1与4是相邻的区域，不可同色，
根据“两区域3公理”可得：
（1）1与3是同一区域，那么2与4相离，可同色；
由证明二之1可证：
1、2、3、4区域最多用2种颜色区分。
2与4是同一区域时同理。
（2）1与3相离，可同色；
由证明二之2可证：
1、2、3、4区域最多用3种颜色区分。
2与4相离时同理。
（3）1与3相邻，不可同色，那么2与4就相离，可同色。
由证明二之3可证：
1、2、3、4区域最多用3种颜色区分。
2与4相邻时同理，
此证明称其为证明三。
四、证明1、2、3、4、5五个区域的关系：
同理只需证明1与5的关系；
1、1与5是同一区域，可同色，那么，1与4就是相邻的区域。
由证明三之3可证：
1、2、3、4、5区域最多用3种颜色区分。
2、1与5是相离的区域，可同色。
（1）1与4相邻，那么，2、3与5就相离，可同色；
由证明三之3可证：
1、2、3、4、5区域相邻时同理。
2与5相邻时同理。
（2）1与4相离，可同色；
由证明三之2可证：
1、2、3、4、5区域最多用3种颜色区分。
2与5相离时同理。
3、1与5相邻，不可同色。
（1）1与4是同一区域，那么2、3与5就相离可同色。
由证明三之1可证：
1、2、3、4、5区域最多用3种颜色区分。
2与5是同一区域时同理。
（2）1与4相邻，那么，2、3与5就相离，可用同色，
由证明三之3可证：
1、2、3、4、5区域最多用3种颜色区分。
2与5相邻时同理。
（3）1与4相离，可同色，
由证明三之2可证：
1、2、3、4、5区域最多用3种颜色区分。
2与5相离时同理。
此证明称其为证明四。
以此类推，可证明1、2、3、4、5……n区域最多用3种颜色区分，加上O区域的颜色即为四色。O区域是任选的，所以平面L可用四种颜色将其内的区域区分开来。
证毕。
:em02:

珠穆亚纳

此证思维方式简练清晰，可自行与其他各种证明相比较，以了解此证之优点和缺陷各在哪里。

鲁迅之徒

感谢版主指点

jhon

文字文字

jhon

文字文字文字

下面引用由jhon在 2006/02/11 08:00pm 发表的内容：
文字文字

鲁迅之徒

尊敬的诸位学长、老师、坛友：
    你们好
    我是沈阳市第120中学高一、三班学生——刘洪溥。此证明是我在初二暑假期间出于好奇所证，因无处发表，便搁置。今年寒假期间因上网查找资料发现该论坛，有四色问题之论，便找出原稿加以整理归纳，形成此文。
    由于我是一名中学生，学识粗浅，只凭牛犊之勇发表了此文，抛砖引玉，请诸位指正，此证明法是否可行。
    本人非常欢迎诸位学长、老师、坛友参与此文的讨论，给予正确的指正，非常感谢。
                                                            刘洪溥
                                                   2006年2月12日于沈阳

王子

如0是圆。1。2。3。在圆的外面都是相邻的，4是包围0。1。2。3。的大圆。那么按你的证明怎么证明。

珠穆亚纳

    论坛还有至少3位高中至大一的网友也探索了这个重大课题，有一位去年的高中应届高考生由于痴迷这个问题的探索，居然失去了高考的机遇，这是很可惜的，一方面应该继续思考，另一方面决不要荒废了现在的重大必由之路——学好必要的基础知识。
    在科学探索的跋涉中，请品味一下我国著名古代思想家老子的名言：“工欲善其事，必先利其器”的深刻内涵，楼主能够用很清晰的思维探索这个问题，足以说明是有潜质的，所以不要忽略充实自己的任何机会。

鲁迅之徒

谢版主指教，我不会为此荒废学业，现研讨此题只是休闲之乐。

鲁迅之徒

回答王子之问：
此题有两种可能：
①0与4相离，选1、2、3中任意一区域为此文O区域，那么其他四区域便与0区域相邻，由证明三可证，0与4相离可同色。
②0与4相邻，选用0区域为本文O区域，那么1、2、3、4便是与O相邻的区域，由证明三可证，1、2、3区域中必有一区域与4区域相离，可同色。
根据两区域公理，0与4区域只存在以上两种形式。
   证毕，谢王子参与此题之论。