我与论图1943的辨论记录

雷明85639720

我与论图1943的辨论记录
雷  明
（二○一五年十月八日）

我的《回复论图1943》一文发出后，论图1943与我在网上进行了辨论，现在把我们的来往贴子抄录如下：
论图1943回复：
回复雷明：1、关于太平天下，他也不是人云亦云（别人怎麽说他就怎麽说）的。他曾在帖子中说王树禾老师书里的某定理不确切呢！我不是和稀泥。他人有他人的不对，但他人也有他人的对的地方、优点及功劳呀！拿已出版的书来说，不论王老师的书还是张老师的书，我们都能找到错误；但总的说来是成绩、是功劳。这也不是和稀泥呀。2、你主张的不可（避）免构形的概念写出来及4个构形：0-论、1-轮、K1、K2画出来。以便我再具体回答你在主楼处的问题。
我回复：
不可免构形就是在任何平面图中都可能会出现的分子图，如0—轮（K1图），1—轮（K2图），2—轮（K3图），3—轮（K4图），4—轮，5—轮，这六种轮在平面图中都是不可避免的会出现的，没有一个平面图中不含有这六种轮中之一种作其分子图的，但任何一个平面图中却可以不含6—轮以上的轮。这六种轮就是平面图的不可免构形集，也是唯一完备的不可免构形集。0—轮就是K1图呀，当然1—轮也就是K2图嘛，你说说，K1图和K2图在张和王的构形集中有他们所对应的构形吗，找不到嘛，所以他们的构形集不是完备的，即他们的构形集中没有包含平面图的所有不可免构形的。
只要一谈到四色问题，总是会有人出来反对的，但他们却又不指出你的错误所在（因为他们就根本不会去看爱好者的文章的），总是指责都是错误的，总是给一些文献名或网址叫去看，难道只有他们看到了，别人都没有看到吗，还要他说吗。他这样搞法，还有什么必要与他们辨论吗，这等于他们就没有自已的观点，那怕是把别人的观点复述一遍，他也做不到，还有什么与他们说的嘛。
论图1943回复：
回复雷明：1、你上一楼的帖子里说：“总是给一些文献名或网址叫去看，。。。。。还要他说吗。”此人这样做对象你这样的一般人来说可能是没用的，但对我网令最短，上网能力最低，知道的很少的网友来说是有些用的，他没白说。2、你可尚没把第二个问题（画图）给我回答呢呀。望你回答。3、一个6论图是不是一个不可免的构形？4、5-轮构形含不含栏外部分？5、你上一帖里的完备是何意？在你的完备集里去掉最后那个，只剩下前5个后为何就不完备了？
你若忙可不回答，你若有空老兄尽量陪你讨论，尽量让你明白张、王对在哪。
我回复：
1、朋友，你要画什么图呢，K1图还要画吗，不就是一个孤立的顶点吗，K2图不就是两个顶点间有一条连线吗，还要画什么呢。0—轮不也就是一个孤立的顶点的图吗，1—轮不也是两个顶点间连有一条边的图吗。6—轮是一个图，要把它看成是一个构也可以，因为要画出一个构形来，是不画围栏以外的部分的，6—轮这个图，也是符合这一要求的。但6—轮决不是不可免的构形，平面图中不含有6—轮的图多的是。
2、从你一定要我画图这一点上看你对不可免构形还是不了解的。请你对公式∑（6-k）&#8226k＝12好好的理解，就能理解出什么是不可免度，当然也就明白了什么是不可免构形了。公式∑（6-k）&#8226k＝12中k是顶点的度，Pk是k度顶点的个数。这个公式说明，任何极大图中各个顶点的度被6减所得值的和是恒等于12的，也说明图中可以不含度大于等于6的顶点，但不能不含有度小于等于5的顶点，这就是不可避免的含意。这个公式还说明，任何一个平面图中至少是含有一个顶点的度是小于等于5的，这就是王树禾教授的《图论》书中的定理5的推论5.1。公式∑（6-k）&#8226k＝12是可以从极大图用平面图的欧拉公式推导出来的，其方法在张彧典的《探秘》书中也有。
3、任何平面图中至少是含有一个顶点的度是小于等于5的也可以这样来证明。反证法：设单纯平面图有v个顶点，各顶点的度都大于等于6，则该图的边数至少是e≥6v/2≥3v，根据库拉图斯基定理知，平面图的边数e≤3v－6，而3v＞3v－6出现矛盾，否定段设，所以说任何平面图中至少有一个顶点的度是小于等于5的。也可以这样证明：平面图的边数一定满足e≤3v－6，所以各顶点度的总合是2e≤6v－12，则各顶点的平均度是d＝2e/v≤（6v－12）/v，当v趋于无穷大时，平均度的极限是lim（6v－12）/v＝lim（6－12/v）＝6，平均度的极限是6，但永远也不可能达到6，这也就说明了任何平面图中至少有一个顶点的度是小于等于5的。还可以用欧拉公式来证明：设平面图中的度均不小于6，平面图的总边数是e≥6v/2≥3v，即有v≤e/3，平面图中的面至少有三条边，每个边又是两个面所共有，所以又有3f≤2e，即f≤2e/3，把v≤e/3和f≤2e/3中的等式代入平面图的欧拉公式v＋f＝e＋2得，e/3＋2e/3＝e＋2，得到0＝2的矛盾结果，也就是说公式左右两边不等，应否定假设，即连通的平面图中至少有一个顶点的度是小于等于5的。
4、上面3中的证明已经回答了6—轮不是不可免构形，因为6—轮的中心顶点的度是6，不是平面图的不可免度，所以以它为中心的轮也就不是平面图的不可免构形。
5、说起构形，一般就是指待着色顶点和围栏顶点，一般不包含以外的顶点。当然5—轮构形就只包含5—轮部分，不包含其外的顶点。但要证明5—轮构形是否可约时，则必须要考虑到5—轮以外的其他顶点的着色情况，并且还要在5—轮的5个轮沿顶点占用完了四种颜色的情况之下。
6、我说的“完备”就是“完全的”或“不缺少”之意，由所有不可免构形构成的集合就是一个完备的不可免集。你若从完备的不可免集中去掉任何一个构形，当然就成为不完备的不可免构形集了，这还要解释吗。完备的不可免构形集中是六个构形，你若去掉一个，就只剩下了五个，当然就不完备了，这也要解释吗。
7、从你和我的讨论中，我认为你对图论的知识还是掌握得太少，所以就产生了你自已按自已的想法使用技术术语的情况，与大家平时用的不太相同，产生了你有不少的话别人看不明白的情况。我与你的交流我就有这么一点感觉。我还认为你有必要对图论多进行一点研究，多掌握一点图论的最基本的常识，然后与大家交流可能要好一些。不知我说得对不对，我也就这样的直说了。
8、我对某些问题不明白，看不懂时，我就提出来了，当然我一定也是有我的理由的。但不同意我的观点的人或者是反对我的人，他们总是叫我看别人的文件，有什么用呢，看了还不是不明白吗。你不同意我的观点，或者是反对我，你也得要说出你自已的理由来嘛，你光叫我看别人的文件，我从你那里能得到什么益处呢。所以我一直是反对这样的人的，自已不能指出别人的错误在那里，说服不了人，就别在那里哇哩哇啦的乱狂叫。我从心底里根本就看不起这些人，他们不去研究也不能阻止别人研究嘛。你看他们这些人无聊不无聊，他们整天一点正事不干，不发表点专业论文，专门的在等我向他们认错，让他们等着吧。
论图1943回复：
回复雷明：1、此处谈的构形可见张老师书13页2、的前半部，也可见王老师第二版的书5.3.2节的一开头，还可见你上一个帖子里的5、。显然都是不包含围栏外的那部分。所以，我说说“一个构形甲是可4-着色的”和说“一个构形甲是可约的”不同。不就对了吗？你说“是一回事”对吗？2、一个6轮构形是附合你的3楼处的“不可免构形的定义的。只是不复合你5楼的帖子里的不可免构形的定义而已。3、大西各马（6-k）*Pk=12我是知道的。4、说到完备你在上一个帖子6、里那样规定是可以的。王、张二位老师是从证明四色猜想的需要来看完不完备的。他们二位的完备观是必要的、是适用的。
我回复：
1、张的书中第13页的图4，张本人把它叫做“不可免完备集”，这一节的标题也是“不可免完备集”，这样的叫法都是错误的。这里明明不是平面图的所有不可免构形，为什么能叫做“完备”的集呢，除非你把“完备”二字理解成“构形”的意思，则就是“不可免构形集”了。这才符合这个集合的实际，因为它是由“不可免构形”构成的集合，但不是“完备的”“不可免构形集”。构形当然是不包括围栏顶点以外的顶点的，但证明构形可约时则必须要考虑到围栏顶点以外的顶点。
2、张彧典书中对构形有这样的定义，说“一个平面图G（V，E），若它的每一个有界面的边界都是‘三角形’。则称为构形。”这种说法也是错误的。他这样的说法只是一个除了“无限面”外其他面都是“三角形”的平面图（该图也不是极大图，因为极大图的无限面也是三角形面）。他在这里用了“有界面”，在他看来可能还有“无界面”，可是这个“无界面”实际上就是“无限面”（有人也叫“外部面”），而“无限面”或“外部面”实际上都是“有界”的，都是有界面，其界就是图的外部边界。这又是张的一个用词不严谨的地方。其实，由于平面与球面的亏格相同，把球面（平面）上分成若干个面后，每一个面都是有界的，也不存在内部面与外部面之分。而只有把图画到平面上时，才有所谓内部面与外部面之别，但各面也都是有界面。张的这种说法也是不符合王树禾书中的定义的，尽管王的定义并不严谨（其中的待着色顶点是多个）。
3、我认为“一个构形甲是可4-着色的”和“一个构形甲是可约的”是同一个意思，都是说的这个构形是可4—着色的。不就都是说这个构形着色时没有用到四种以上的颜色吗。你若认为二者不同那就是不同吧。
4、我在3楼处没有给出构形的定义呀，只有在5楼才给出了的。你说说6—轮怎么不符合我在5楼给出的定义呢。6—轮就是只有七个顶点的图，6个轮沿顶顶点以外再也没有任何顶点，这怎么不符合我在5楼处给出的定义“说起构形，一般就是指待着色顶点和围栏顶点，一般不包含以外的顶点。”呢。
5、对于公式∑（6-k）•Pk＝12，你并不理解其真正的含义。“完备”就是完备，不能说为了“需要”就随便使用。张，王二人的不可免构形集明明是不完全的，你硬要说他们叫完备集是“必要的，是适用的”，那你就这么说吧。可是你要知道这种说法是不符合汉语规范的，是与实际不符的。你如何还能把他们的错误叫法上升到了“完备观”的高度呢，真是不可思义。
论图1943回复：
回复雷明：
1、对你的上一个（8楼处的）帖子的1、的回答是：完不完备待往下看。
2、你的第2条说张老师把平面上的外部面（无限面）认为是无界面是错误的。我认为对此面（区域）说成外部面（无限面）较好。对此面，我们这边有它的边界线，往远处看它是无边无际的，是没有边界的；所以认为它是无界面虽不太科学但是是有一定的理由的。我看到此是明白的。我认为不是错误，多说是不确切而已。
3、对你的第4条：（1)我在2楼处，请你写出你主张的“不可免构形的概念，于是我对你3楼处一开头的内容自然认为是此概念了，是此定义了。（2）6-轮显然不符合你5楼处的不可免构形的定义了。若符合的话，你说“不可免构形只有那6个（种）”不就错了吗？你的话不就自相矛盾了？你怎麽弄混了？
4、对你的第5条：任何一个点数大于3的极大图来说都可由K3经每次添加一个点M同时添加j(j=1、2、3、4、5）条边得到。欲证四色猜想只需证：往任一个含K3的且已用四种色涂区了的图G上添加点M后仍是四色的。当j=1、2、3时，显然成立。所以只需研究j=4、5两种情况。可见{Q，R}已够完备了。彧典老师的{P,Q,R}、王老师书的图5.11、图5.14、图5.15都是证四色猜想的完备集。在这个问题上他们不仅都没错误，且没不妥之处。
以上看法不一定对，供你和网友们参考吧！
我回复：
1、在球面上的无交叉边的图中，我问你，那一个面是无界面呢。你能找出来吗。你要那样看就那样看吧。我认为这是一个用词上的不严谨问题，也并不是大的问题。各自心里明白也行了。但张对构形的定义是绝对错误的。构形就是构形，但不一定就是不可免构形，虽然6—轮也符合我对构形的定义，但它却不是不可免构形，所以我的不可免构形集中是不含有6—轮构形的。我一点也没有自相矛盾，也没有弄混。
2、你的“任何一个点数大于3的极大图来说都可由K3经每次添加一个点M同时添加j(j=1、2、3、4、5）条边得到。”这句话也说得不对。前半部“任何一个点数大于3的极大图来说都可由K3经每次添加一个点M”是对的，但在M点上同时添加的边只能是3时，才能得到极大图，不存在M点的度有1，2，4，5的情况。若M只有1度或2度时，图就不是极大的，图中本来就没有边数大于等于4的面（也没有顶点数大于等于4的面），添加的M点的度是4或5则是不可能的，如果有则是平行边，相当于还是一条边。
3、你的第4点中，由于该点前面的话（在我上面的第2点中已引用了）是错的，后面的话也就不成立了。但你用这样的方法得到的极大图中，一定存在度是大于等于4的顶点的。度小于等于3的待着色顶点，一定是有一种颜色给其着上的，是可约的；度等于4的待着色顶点，坎泊已证明是可约的了；而只有度是5的待着色顶点大家还认为是不能着上四种颜色之一的，即不可约的（实际上我们很多爱好者已是能对度为5的待着色顶点着上四种颜色之一的，即5—轮柳树形也是可约的），现在大家不正是在从各个角度去角决这一问题吗，阿贝尔的机器证明不是也是为了解决这一问题吗。我这里说的度为4或5的顶点，并不是你所添加的M点，而是图中别的顶点。
4、从以上的第3点可以看出，你在你上贴的第4点中所得的结论：“当j=1、2、3时，显然成立。所以只需研究j=4、5两种情况。可见{Q，R}已够完备了。”也是错误的。张王的构形集都不是完备的。这个问题，我们没有必要再争来争去了。


雷  明
二○一五年十月八日整理于长安

注：此文已于二○一五年十月九日在《中国博士网》上发表过，网址是：