[讨论]傅氏变换和拉氏变换的转化

qingjiao

拉氏变换运算方便，而且有很多现成的公式可查。但拉氏变换是乘上单位阶跃函数和指数衰减函数后的傅氏变换，原函数的能量关系改变了，对分析原函数性质不如傅氏变换方便。

实际应用中，许多函数都是有限区间的积分，此时傅氏变换的成立条件大部分是能满足的。想请教陆教授，能不能先取该函数的拉氏变换，然后转为傅氏变换？有何简便的转换方法？（似乎不能简单地将拉氏变换的s的实部隐去就行）。

qingjiao

例如L(sinx)=1/(s^2+1),F(sinx)=jπ[δ(w+1)-δ(w-1)]
二者显然不仅差一个实部。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/13 11:59am 第 2 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2010/09/12 10:16am 发表的内容：
拉氏变换运算方便，而且有很多现成的公式可查。但拉氏变换是乘上单位阶跃函数和指数衰减函数后的傅氏变换，原函数的能量关系改变了，对分析原函数性质不如傅氏变换方便。
实际应用中，许多函数都是有限区间的积分，此时傅氏变换的成立条件大部分是能满足的。想请教陆教授，能不能先取该函数的拉氏变换，然后转为傅氏变换？有何简便的转换方法？（似乎不能简单地将拉氏变换的s的实部隐去就行）。

这确实是一个很有意义的问题，还没有看到过什么地方有现成的介绍，我尝试解答如下：

ccmmjj

在下暑假阅读，看过一本书，是南京工学院编的〈积分变换〉，其中对两者关系作了较透彻的论述。有兴趣的同志，可以试着找来看看。

qingjiao

下面引用由ccmmjj在 2010/09/13 01:01pm 发表的内容：
在下暑假阅读，看过一本书，是南京工学院编的〈积分变换〉，其中对两者关系作了较透彻的论述。有兴趣的同志，可以试着找来看看。

呵呵，偶当年读的就是南京工学院第三版。
但学之前学了一个学期的复变函数，然后积分变换+数理方程又一个学期。
感觉积分变换还好学，数理方程太难了，没什么规律的。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/09/13 07:03pm 第 1 次编辑]


陆教授的解答很精彩，谢谢了！
两个问题：
1.似乎这种方法并不能直接查表得出拉氏变换公式，然后代入有限区间求积分值？还是要老老实实地计算积分，偷懒不得？
2.何为广义函数？就是在(-∞,+∞)上积分不确定的函数吗？
现课本上没有傅氏变换和拉氏变换的关系和转化的内容，实在是遗憾，其实补上去并不多，但对学生和应用者很有帮助。
最后，为什么有不同的傅氏变换定义呢？这不乱套了吗？我当年读的南京工学院版采用的就是第一种定义。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/09/13 09:22pm 第 1 次编辑]


再请教两个问题：
1.应如何理解傅氏变换中（包括其它用复数表示的频率中）负频率的物理意义呢？傅氏级数中，频率的物理意义是清晰的，但它是正频率。
2.傅氏变换中的频谱是否可以理解为：信号产生和存续的时间中，该空间存在的所有连续或间断的不同频率的振动能量。陆教授认为我这个理解对不对？如果对，那么我们是否可以计算一个确定时间点的t0的傅氏变换值，反求原函数在t0点的函数值？这在傅氏级数中是可以的，除了原函数的间断点之外，该点的傅氏级数值=0.5*[f(t0+)+f(t0-)]。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/13 09:48pm 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2010/09/13 07:00pm 发表的内容：
陆教授的解答很精彩，谢谢了！
两个问题：
1.似乎这种方法并不能直接查表得出拉氏变换公式，然后代入有限区间求积分值？还是要老老实实地计算积分，偷懒不得？
2.何为广义函数？就是在(-∞,+∞)上积分不确定的函数吗？
现课本上没有傅氏变换和拉氏变换的关系和转化的内容，实在是遗憾，其实补上去并不多，但对学生和应用者很有帮助。
最后，为什么有不同的傅氏变换定义呢？这不乱套了吗？我当年读的南京工学院版采用的就是第一种定义。  

作 Laplace 变换能不能直接查表，要看具体情况。
在我举的例子中，有些 Laplace 变换，就是直接查表得到的。
如果表中查不到，那就必须求积分了。
广义函数，就是像 δ(x) 那样的函数。
各种书上关于 Fourier 变换的定义不统一，确实很不好，会带来很多麻烦和混乱，
但事实就是这样，我也不知道为什么没有一个统一的定义。
关于 Fourier 变换的实际物理意义，我因为不是搞工程技术的，在这方面是外行，
所以很抱歉，对这一类的问题，无法做出回答。

ccmmjj

下面引用由qingjiao在 2010/09/13 06:32pm 发表的内容： 呵呵，偶当年读的就是南京工学院第三版。
但学之前学了一个学期的复变函数，然后积分变换+数理方程又一个学期。
感觉积分变换还好学，数理方程太难了，没什么规律的。

我记不住版本了，只记得书皮黄色，书也不厚。其中有一段，介绍Fourier 变换向 Laplace 变换转换的理论上，先要乘以一个阶跃函数u(t)，t>0时等于1。t<0时等于0。然后再乘以指数函数exp(-at)，a>0保证它的绝对收敛性。最后将结果强加到原函数的Fourier 变换上，而将Fourier 变换转换为 Laplace 变换。老兄如果读书认真，应当可以看到这一段。

ygq的马甲

关于 Fourier 变换的实际物理意义，我因为不是搞工程技术的，在这方面是外行，

关于 Fourier 变换的实际物理意义，最主要的还是“频率改变时的变化”，即横坐标是 ω轴 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

举例来说，音响设备都有一个曲线的，即横坐标是 ω轴