什么是平面图的不可免构形

雷明85639720

什么是平面图的不可免构形
——兼论对放电理论的质疑
雷  明
（二○一五年十月八日）

图的构形，平面图的不可免构形，是在研究四色问题中特别的提出来的，但各文献资料上均没有给以严密的定义。我根据大伙在对四色问题的研究中，对“图的构形”和“平面图的不可免构形”这两个专业术语的使用情况，以及我个人对这两个专业术语的理解，提出“图的构形”和“平面图的不可免构形”的定义应是：
1、图的构形：
“图的构形”是图的一个分子图。这个分子图是以某个顶点为中心顶点的轮来命名的，该中心顶点的度是n（n≥）时，该轮就是n—轮，该轮就叫n—轮构形。n—轮中的n个轮沿顶点就是该构形的围栏顶点，轮的中心顶点就是证明该构形是否可约时的待着色顶点。我认为一个构形就只有一个待着色顶点。构形中的待着色顶点通过使用坎泊的所创造的颜色交换技术后，能够着上图中已用过的四种颜色之一时，该构形则是可约的，否则就是不可约的。
2、平面图的不可免构形：
㈠ 极大图的不可免构形：
极大平面图的“不可免构形”是：若图中的所有顶点的度都相同，图中每个顶点都是由相同数目的轮沿顶点构成的轮的中心顶点，则这样的轮就是平面图的不可免构形，即是在任何平面图中都不可避免的存在的构形。符合这一条件的图中各顶点的度只能是小于等于5的，因为只有这样的图才符合公式∑（6－k）&#8226k＝12的要求；而各顶点的度都是6以上的图是不符合公式∑（6－k）&#8226k＝12的要求的（公式∑（6－k）&#8226k＝12中，k是顶点的度，Pk是k度顶点的个数）。
例如正20—面体的12个顶点均是5—度顶点，每个顶点都是一个5—轮的中心顶点。∑（6－k）•Pk＝（6－5）•12＝1•12＝12。所以5—轮就是平面图的一个不可免构形；还有正8—面体的6个顶点均是4—度顶点，每个顶点都是一个4—轮的中心顶点。∑（6－k）•Pk＝（6－4）•6＝2•6＝12。所以4—轮也是平面图的一个不可免构形；也还有正4—面体的4个顶点均是3—度顶点，每个顶点都是一个3—轮的中心顶点。∑（6－k）•Pk＝（6－3）•4＝3•4＝12。所以3—轮也是平面图的一个不可免构形；另外还有正3—边形的3个顶点均是2—度顶点，每个顶点都是一个2—轮的中心顶点。∑（6－k）•Pk＝（6－2）•3＝4•3＝12。所以2—轮也是平面图的一个不可免构形。
㈡ 非极大图的不可免构形：
另外，由于非极大图的完全图中，一条线段（K2图，有两个顶点被一条边相连）和点（K1图，只是一个孤立顶点）的每个顶点的度分别均是1和0，且也都分别是1—轮和0—轮的中心顶点。虽然这两个图不符合公式∑（6－k）•Pk＝12的要求，但却符合上面提出的“不可免构形”定义中所说的条件，所以1—轮和0—轮也是平面图的两个不可免构形。
3、平面图的不可免构形集：
从2中可以看出，平面图的不可免构形就只有0—轮，1—轮，2—轮，3—轮，4—轮和5—轮，共6个。由这6个不可免构形构成的集合就是平面图的不可免构形集，简称不可免集。
各个顶点的度均大于等于6的图根本就是不存在的，因为公式∑（6－k）•Pk＝12中的每一顶（6－k）都是小于等于0的，求和的结果仍是小于等于0的，得不到12的结果。要使各顶点的度全都是6度以上的图满足公式∑（6－k）•Pk＝12的要求，则图中必须含有度小于等于5的顶点，使得有若干个（6－k）的值大于0，且这些值大于0的（6－k）求合的结果还要比各项小于0的（6－k）的各的绝对值大12，才能使公式∑（6－k）•Pk＝12成立。所以说任何平面图中都不可避免的一定含有至少一个度小于等于5的顶点。由这些度小于等于5的顶点所构成的轮在平面图中是不可免的存在的，所以这些轮就是平面图的不可免构形。而由这些不可免构形构成的集合就是平面图的不可免构形集。
4、平面图的构形与四色问题：
要解决四色问题，只要解决了平面图的不可免构形集中的各个构形都是可约的就可以了。因为任何平面图中都不可避免的存在着度为小于等于5的顶点，在对平面图着色时，我们总可以把度小于等于5的顶点放在最后来着色。从目前来看，解决5—轮构形的可约性仍是一个关键的问题。我认为5—轮构形的可约性问题，则是已经由许多爱好者解决了。所谓的赫渥特反例图并不是反例了，赫渥特图是一个可4—着色的平面图。
在证明一个不可免构形是否是可约时，不能光看到构形中已有的几个顶点，而且还要看到构形围栏以外的、图中未画出的多个顶点。在除了构形的唯一的一个待着色顶点以外，其他的所有顶点都只用了四种颜色着色，且构形的围栏顶点已占用完了四种颜色的情况下，构形的待着色顶点只要能着上已用过的四种颜色之一，该构形就是可约的，否则就是不可约的。在证明了平面图所有的不可免构形都是可约的时，四色猜测也就得到了证明，四色猜测就是正确的了。
5、阿贝尔的所谓机器证明：
阿贝尔等在其《四色地图问题的解决》一文中用了“去荷”的方法（网址是   ）来证明构形是否是不可免构形的问题。
㈠  阿贝尔的“电荷转移”理论：
阿贝尔说：“如果对于每个k度顶点（即是有k个邻国），我们给它一个荷数6－k，那么度数大于6的顶点（称为主要顶点）就得到负的荷数，只有5度顶点才有正荷数。从肯普的工作可见，任何三角剖分的所有荷数之和正好是12。”这就是公式∑（6－k）•Pk＝12。接着阿贝尔又说：“12这个具体的和数并不很重要。非常重要的是：对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。”阿贝尔画了一个图9，是一个所有顶点的度都大于等于5的图，来说明公式∑（6－k）•Pk＝12是正确的。并再一次定义了“一个顶点的‘荷数’定义为6减去该顶点的度数。”又说：“不难证明；任何地图的总荷数都等于12。这个事实蕴涵：我们证明四色定理时所涉及的每个平面三角剖分中均存在正荷数顶点。”这些与我们在上面对构形的定义和不可免构形的定义是一致的。
阿贝尔接着说：“现在假设，这样一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。特别是，假定正荷数从某些正荷（5度）搬到某些负荷（主要）顶点。这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变；例如某些5度顶点可能失掉正荷数（成为去荷顶点），而某些主要顶点却可能取得这样多的荷数，结果它们具有正荷数（成为超荷顶点）。不同的顶点按照所选的去荷手续或重新分配手续而成为去荷顶点或超荷顶点。”“由于总荷数总是正的，所以总有某些顶点具有正荷数。……所以每个平面三角剖分必须至少含有这样的构形之一。”“如果这些构形也是可约的，那么四色猜测就得到了证明。”
㈡  阿贝尔文中对“电荷转移”的叙述：
阿贝尔说：“考虑下述手续：从每一个5度顶点转移1/5单位的荷数到它的每个主要邻国。相应的不可避免集由两个构形组成：一个是一对5度顶点，由一条棱连接起来；另一个是一个5度顶点，由一条棱连接到一个6度顶点。”“这些构形得到如下：一个5度顶点在这个手续终了时具有正荷数，它至少有一个邻国不是主要邻国，所以这个顶点必定保留正荷数；这个顶点或者有一个5度邻国，或者有一个6度邻国。”“一个6度顶点原来的荷数是0，因而不能接收任何荷数。一个7度顶点在手续终了时具有正荷数，它必须至少有六个邻国都是5度顶点；如果它至少有六个这样的邻国，其中必有两个由一条棱连接起来。一个8度或更高度的顶点结果不可能具有正荷数，即使它所有的邻国都是5度顶。检查一个8度顶点就可以明白这种情况：它的原荷数是－2，而它能接收的最大正荷数是1/5的8倍，即1又3/5。”仍不能抵销2个负荷数。“于是，这两个（不可约）构形构成一个不可避免集，即是，由于这些计算适用于任何平面三角剖分（任何顶点的度数不小于5），所以每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”阿贝尔在这里所说的两个构形就是构形（5-5）和构形（5-6），并且说他们都是不可约的。
㈢  阿贝尔对其文中图10的说明：
阿贝尔文中的图10实际就是构形（5-5）和构形（5-6）这两个构形。他在该图下的说明中说：“一个简单去荷手续的例子是从每个正荷数顶点转移1/5单位的荷数给它的每个负荷数邻国。一个5度顶点在这个过程终了时具有正荷数，它必须至少有一个5度邻国或一个6度邻国，使得它必须保留荷数。一个6度顶点决不会变成正荷数顶点，因为，它既然原来的荷数是0，就决不会接收正荷数。一个7度顶点最后具有正荷数，它必须至少有六个5度邻国；这时其中至少有两个是相邻的。度数大于7的顶点决不能接到足够的正荷数以抵销其原来的负荷数。这个去荷手续产生的不可避免集由两个由两个构形组成：一个5度顶点，由一条棱同另一个5度顶点相连，以及一个5度顶点，由一条棱同一个6度顶点相连。这些构形不是可约的。如果修改去荷手续，从每个正荷数顶点转移1/3单位的荷数给它的每个负荷数邻国，就会产生稍好一些的集合。如果转移1/2单位的荷数，则所产生的集合接近于作者的去荷手续的早期说法所产生的集合。”这里阿贝尔再一次说到了构形（5-5）和构形（5-6）都是不可约的。
6、对所谓“放电现象”的质疑：
质疑一，在以上5中，阿贝尔已两次明确得出了构形（5-5）和构形（5-6）都是不可约的（至于为什么是不可约的，阿文中并没有具体的说明。但荷数转移的最终结果并不能改变系统的总荷数仍是12的客观事实，所以说，荷数转移对证明某构形是否是可约的没有什么用处的。），既然是这样，为什么用了这样两个不可约的构形来替代5—轮构形而去证明5—轮构形是否可约呢。难怪虽然说阿贝尔用机器证明了四色猜测，但却从未见到过说过5—轮构形最终是可约的这样的结论。没有这一结论，能说四色猜测被证明是正确的了吗。要知道5—轮构形绝对是平面图的一个不可避免的构形，不能得出它是不是可约，四色猜测能被证明是正确的吗。
质疑二，另外，从阿贝尔的证明中不但看不出如何能够通过荷数转移得出构形（5-5）和构形（5-6）是不可免构形的，也看不出如何能够得出由构形（5-5）和构形（5-6）构成的构形集{（5-5），（5-6）}是不可免集的。既然构形（5-5）和构形（5-6）是不可免的构形，又分别是不可约的构形，那又怎么说四色猜测就得到了证明是正确的呢。
基于以上两点，我对所谓的用机器证明四色猜测过程中的所谓“放电理论”是有怀凝的，也不能把物理学中的这一现象用到数学中的对四色猜测的证明中来。
7、王树禾与阿贝尔到底谁是正确的呢
㈠　王树禾《图论》书中的“放电理论”与阿贝尔文中的“放电理论”正好是相反的。阿贝尔在荷数转移后，对7度顶点取的是正荷数，而8度以上的顶点永远也不能变为正荷数；而王树禾对7度以上的顶点，却取的是负荷数。王树禾在《图论》一书2004年1月第一版中说，k≥7的顶点所获电荷最多为k/5，使它所带的总电荷数为（6－k）＋k/5，当k＝7时是2/5，是正的，当k≥8时才是负的；而在2009年8月该书的第二版中却说，k≥7的顶点所获电荷最多为k/10，使它所带的总电荷数不大于（6－k）＋k/10＜0，全是负的。如此这样一个严肃的问题，变动又如此之大，难道说变就变了吗。我认为这完全是在为了满足k≥7的顶点在所谓电荷转移终了时都是负荷数而没有理由的随意变动，完全是在凑数嘛。本来在电荷未转移之前，k≥7的顶点的电荷数全都是负的，可电荷转移后的结果仍然是负的，这又能说明什么问题呢。
㈡　关于这一“放电理论”问题，王树禾的书中两个版本有两种不同的计算方法，而网友“论图1943”也有他自已的看法及算法。“论图1943”认为“一个和5度点相邻的7度点最多和3个5度点相邻”，而“一个和5度点相邻的8度点最多和4个5度点相邻”，但他并没有进行证明这一说法是否正确。这样，就产生了他的计算方法，即k≥7的顶点在电荷转移终了时的总电荷是：（6－k）＋S /5＜0，其中S是k≥7的顶点所邻接的5度顶点的个数。这也是一个硬在凑合k≥7的顶点在电荷转移后的总电荷取负数的一个例子，也是没有道理的。阿贝尔还提到了5度顶点每次转移1/3，1/2的电荷，道底应该如何转移呢，我想该不能是想怎么转移就怎么转移吧。
㈢　同一个“放电理论”，阿贝尔认为放电终了整个系统的总电荷数仍是（正）12，这应是正确的。认为放电后“去荷手续产生的不可避免集由两个由两个构形组成”，这个不可免集即{（5-5），（5-6）}，可这个构形集为什么又是不可免的，却没有说明。为什么说构形（5-5）和构形（5-6）都是不可约的，也没有说明；但王树禾却认为放电终了整个系统“T上的总电荷量是负的，不是12，此矛盾证明{（5-5），（5-6）}是不可避免集。”这显然是错误的。不论到什么时候，系统的总电荷数是12，是正的，是不会改变的。用这样的一个错误结论——T上的总电荷量是负的，不是12——就能下结论说{（5-5），（5-6）}是不可免集吗。道底是阿贝尔说得对呢，还是王树禾说得对呢。
㈣　又是同一个“放电理论”，阿贝尔证明了{（5-5），（5-6）}是不可免集，王树禾也证明了该构形集是不可免集（王书中的定理5.6），并说阿贝尔用同样的“电荷输送技术”还证明了另外两个构形集是不可免集（王书中的定理5.7和5.8）。但“太平天下”却又指出说，王书中的定理5.6，5.7和5.8中的三个构形集都不是不可免集，原因是在633个不可免构形中没有这三个构形集中的构形。这道底又是谁说得对呢。这样的《图论》教课书，竟使用了十多年，几乎年年印刷、发行，不知吭害了多少青年学生呀。


雷  明
二○一五年十月八日于长安

注：此文已于二○一五年十月十一日发表在《中国博士网》上，网址是：

雷明85639720

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