构形(5，5)和(5，6)是可约的

雷明85639720

构形(5，5)和(5，6)是可约的
雷  明
（二○一年十月二十三日）

有个数字先生11223344最近一直在网上强调构形（5，5）和（5，6）是不可约的。这两个构形真的是不可约的吗，具体进行一下着色就可以看出了。我们这里分两步走，第一步先把构形（5，5）和（5，6）均看作两个单独的图（不考虑围栏顶点以外的其他顶点），对其进行4—着色；第二步把构形（5，5）和（5，6）均看作两个构形，即不但要考虑到围栏顶点以外的顶点，还要考虑到与待着色顶点相邻的围栏顶点占用完了四种颜色的情况。构形（5，5）和（5，6）如图1所示。

1、按两个单图进行4—着色：
构形（5，5）的4—着色：如图2，a。先给顶点V1着A，再给与V1的相邻顶点W1着B，W2着C，W4着B，V2着C，W3着D；与顶点W5相邻的顶点V2和W3已分别着上了C和D，给W5着上B；与顶点W6相邻的顶点W5，V2和W4三个顶点只占用了B和C两种颜色，给W6着上A或D均可。

构形（5，6）的4—着色：如图2，b。先给顶点V2着A，再给与V1相邻的顶点W3，W5，W7，W6，W4和V1按次序相间的着上B和C；与顶点W1相邻的顶点V1和W3已分别着上了C和B，给W1着上A；与顶点W2相邻的顶点W1，V1和W4三个顶点只占用了A，C和B三种颜色，还有一种颜色D给W2着上是可以的。
到此证明了构形（5，5）和（5，6）按单独的图进行着色时，是可4—着色的。
2、按两个构形进行4—着色：
若一个构形能够4—着色，也就是说该构形是可约的。
构形（5，5）的4—着色：如图3。先给顶点V2着上A，把V1留作待着色顶点；给待着色顶点V1的相邻顶点W1和W2分别着上C和B，给W3和W4都着上B，使待着色顶点V1的相邻顶点占用完四种颜色；给顶点W5和W6分别着上D和C，使图中形成两条连通且相交叉的链（顶点V2到W2的A—D链和顶点V2到W1的A—C链）；两交叉链的相交顶点着A色。这实际上就是一个由赫渥特图简化得来的“九点形”。

这种构形，虽然没有关于两个同色B的连通链，但若从一个同色顶点B处施行了坎泊所创造的颜色交换技术后，虽然可以移去一个B，但又很可能会产生从另一个同色顶点B到其对角顶点的连通链，不可能同时移去两个同色B，也就不能空出一种颜色给待着色顶点V1着上。我们又知道，连通的链是不能施行坎泊所创造的颜色交换技术的，因为即就是交换了连通的链也是不能空出颜色来给待着色顶点着上的。那么我们能不能想办法创造条件，使已连通的链断开，这是完全可以办到的。当我们从两条连通链的交叉顶点（着A色）开始进行A—B链的交换（实际上在图3中就是把两链交叉顶点的颜色由A改换成B）时，两条连通链都变成了不连通的了。这时我们就可以再进行一次别的链的交换，分别空出A、C、D之一给待着色顶点V1着上。构形（5，5）是可约的了。

构形（5，6）的4—着色：如图4。仍把顶点V1留作待着色顶点，与其相邻的顶点的颜色仍与图3中相同，顶点W5，W6和W7着色的形式可以有两种，分别如图4，a和图4，b。不管这两个图能不能同时移去两个同色B，我们直接就从两条连通链的交叉顶点（着A色）开始交换A—B链，使连通的A—C和A—D全断开，就创造了再施行一次颜色交换技术后，可空出一种颜色给待着色顶点V1着上的条件。构形（5，6）也是可约的了。
到此也就证明了构形（5，5）和（5，6）按构形进行着色时，也是能够可4—着色的，即是可约的。


雷  明
二○一五年十月二十三日于长安

注：此文已于二○一五年十月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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