6174问题现在有研究着的没？

mcb00100

6174问题现在有研究着的没？都是怎样证明的？

天山草

6174问题，也叫“卡布列克运算”问题，不知道这个问题有没有人证明过。

给定 20 位数：13579045612345678935
1 : 99877665555443332110 - 01123334455556677899 = 98754331099886654211
2 : 99988876655443321110 - 01112334455667888999 = 98876542199775432111
3 : 99988777655443221111 - 11112234455677788999 = 88876543199765432112
4 : 99888776655443322111 - 11122334455667788899 = 88766442199775533212
5 : 99887776655443322211 - 11222334455667778899 = 88665442199775543312
6 : 99887766555444332211 - 11223344455566778899 = 88664422099877553312
7 : 99888776655443322210 - 01222334455667788899 = 98666442199775533311
8 : 99987766655443332111 - 11123334455666778999 = 88864432199776553112
9 : 99888776655443322111 - 11122334455667788899 = 88766442199775533212
运算至第 4 次，开始进入循环
循环圈起点数字是 88766442199775533212，循环圈长度是 5


给定 50 位数：13579045612345678935652309006574334353445773464767
1 : 99987777777666666555555554444444433333333322110000 - 00001122333333333444444445555555566666677777778999 = 99986655444333333111111108888888866666655544331001
2 : 99988888888866666666555554444433333333111111111000 - 00011111111133333333444445555566666666888888888999 = 99977777777733333333111108888866666666222222222001
3 : 99988888777777777666666663333333322222222211111000 - 00011111222222222333333336666666677777777788888999 = 99977777555555555333333326666666644444444422222001
4 : 99977777666666665555555554444444443333333222222100 - 00122222233333334444444445555555556666666677777999 = 99855555433333331111111108888888886666666544444101
5 : 99888888888866666665555554444443333333111111111100 - 00111111111133333334444445555556666666888888888899 = 99777777777733333331111108888886666666222222222201
6 : 99888888777777777766666663333333222222222211111100 - 00111111222222222233333336666666777777777788888899 = 99777777555555555533333326666666444444444422222201
7 : 99777777666666655555555554444444444333333222222210 - 01222222233333344444444445555555555666666677777799 = 98555555433333311111111108888888888666666544444411
8 : 98888888888866666655555554444444333333111111111110 - 01111111111133333344444445555555666666888888888889 = 97777777777733333311111108888888666666222222222221
9 : 98888888777777777776666663333332222222222211111110 - 01111111222222222223333336666667777777777788888889 = 97777777555555555553333326666664444444444422222221
10 : 97777777666666555555555554444444444433333222222221 - 12222222233333444444444445555555555566666677777779 = 85555555433333111111111108888888888866666544444442
11 : 88888888888866666555555554444444433333211111111110 - 01111111111233333444444445555555566666888888888888 = 87777777777633333111111108888888866666322222222222
12 : 88888888877777777776666663333332222222222211111110 - 01111111222222222223333336666667777777777888888888 = 87777777655555555553333326666664444444444322222222
13 : 87777777666666655555555554444444444333333222222222 - 22222222233333344444444445555555555666666677777778 = 65555555433333311111111108888888888666666544444444
14 : 88888888886666666555555554444444443333331111111110 - 01111111113333334444444445555555566666668888888888 = 87777777773333332111111108888888876666662222222222
15 : 88888888877777777776666663333332222222222211111110 - 01111111222222222223333336666667777777777888888888 = 87777777655555555553333326666664444444444322222222
运算至第 12 次，开始进入循环
循环圈起点数字是 87777777655555555553333326666664444444444322222222，循环圈长度是 3

天山草

给定 4 位数：9435
1 : 9543 - 3459 = 6084
2 : 8640 - 0468 = 8172
3 : 8721 - 1278 = 7443
4 : 7443 - 3447 = 3996
5 : 9963 - 3699 = 6264
6 : 6642 - 2466 = 4176
7 : 7641 - 1467 = 6174
8 : 7641 - 1467 = 6174
运算至第 7 次，开始进入循环
循环圈起点数字是 6174，循环圈长度是 1

对于四位数，只有这一个循环圈6174，为什么会这样，看来楼主已经证明了？

ataorj

2位数,比如92-29=63,63-36=27,72-27=45,54-45=9
90-09=81,81-18=63
2位数好证明
ab-ba=9(a-b)=cd
c=a-1-b
d=10+b-a
c+d=9
c,d取值有限,不超过某数步[可计算,略],必然会循环

天山草

3 位数好证明吗？【最终必然是 495 】

给定 3 位数：675
1 : 765 - 567 = 198
2 : 981 - 189 = 792
3 : 972 - 279 = 693
4 : 963 - 369 = 594
5 : 954 - 459 = 495
6 : 954 - 459 = 495
运算至第 5 次，开始进入循环
循环圈起点数字是 495，循环圈长度是 1

ataorj

这种规律的意义不大
最高位允许为0,
比如2位数就有100个,只要证明开始循环前的步数n<100,就说明规律有点意义,也才名副其实是个小规律
证明很简单,假若存在某2位数m使得n=100,则任何2位数的征途的第一步结果都在m的征途中,大家的循环圈必然是一模一样的,只要举出一个反例就可推翻这点[略].所以规律成立.
至于具体规律细节,我认为探究没多大意义

ataorj

abc-cba=def
f=10+c-a
e=b-1+10-b=9
d=a-1-c
f+e+d=18

简单推导可能就是
只要进行过题目一步操作,就有n位数的结果是各位数字之和为9n

ataorj

更正:9(n-1)

ataorj

也许应该是9[n/2],[]表示四舍五入

天山草

下面把 mathematica 程序贴出来哈，供感兴趣者以后研究。

n = 154765444566845465463554543567835384;
i = 0;
m = 0; lst = {n};
Print[i, "------", n]
For[i = 1, i < 1000, i++,
n = FromDigits[Reverse[Sort[IntegerDigits[n]]]] -
   FromDigits[Sort[IntegerDigits[n]]];
lst = Append[lst, n];
  For[j = 1, j < i, j++; If[n == lst[[j]], m = 1; mm = j]]
  Print[i, "------", n]
  If[m == 1, Break[]]
]  
Print["从第 ", mm - 1, " 步开始进入循环圈（循环圈长度是 ", j + 1 - mm, "）:"]
For[k = mm, k < j + 2, k++, Print[lst[[k]], " "]]

程序运行结果：

0------154765444566845465463554543567835384

1------755442222221110999999888877777755443

2------988877666643333219977666653333221111

3------888776554433333320876666665544322112

4------877655533333331110888866666664443222

5------877765533333333110888666666664432222

6------877655533333333310886666666664443222

7------876553333333333110888666666666644322

8------877653333333333310886666666666643222

9------876553333333333330866666666666644322

10------865333333333333310886666666666666432

11------876333333333333330866666666666666322

12------865333333333333332666666666666666432

13------643333333333333330866666666666666654

14------833333333333333320876666666666666662

15------865333333333333332666666666666666432

从第 12 步开始进入循环圈（循环圈长度是 3）:

865333333333333332666666666666666432

643333333333333330866666666666666654

833333333333333320876666666666666662

865333333333333332666666666666666432