证明{tann} 是发散的

taoxijia88

如何用N与ε语言

elim

根据我才发的帖子的一个推论，(参见 {mπ +|n|} 在实数系的稠密性），
因为 tan 的周期是π，由上述结果得到集合 {tan n | n ∈N} 在实数系中稠密，所以 {tan n} 发散.

期待更初等的证法.

wwhcasc

这样可以不？

elim

我理解 n 必须取正整数。

天元酱菜院

对于任意自然数n, 考察n+1,n+2,n+3,n+4
由于π=3.1415.....,介于3与4之间， 所以一定可从这四个数中找到一个数m, 符合 Kπ-1<m<kπ（其中k属于自然数集合）,  于是，m+1 必定落在（kπ， kπ+1）区间。
        【注】：将n+1、n+2、n+3、n+4 依次代入 f(x)=【（x+1）/π】- 【x/π】
                 （其中，【】是取整函数）； 总可以找到使f(x)=1 的值，这时，这个X就是我们要找的m。

于是，tan(m)<0, tan(m+1)>0。
        tan(m+1)-tan(m)> max{ 0-tan(m), tan(m+1)-0}=max{ tan(-m), tan(m+1)}>tan(0.5)

于是，对于正数ε=tan(0.5) ,   任意的N, 总能找到m>N,和（m+1）>N, 使 | tan(m+1)-tan(m) | >tan(0.5)
所以，tan(n)当n 趋于正无穷时，不收敛。（发散）。