[原创] 我对非质数的猜想。

技术员

[watermark]任何大于3的自然数用2进制表示的话，相邻的1的个数是偶数并且相邻0的个数是偶数的自然数必不是质数。
比如：11110011[2]=243[10]不是质数。[/watermark]

申一言

   有意思？
   很有意思！

大傻8888888

    任何大于3的自然数用2进制表示的话，相邻的1的个数是偶数并且相邻0的个数是偶数的自然数必是3的倍数。

luyuanhong

题  一个正整数写成二进制形式，如果在二进制形式中，“1”的数字串长度都是偶数，
那么，这个正整数一定是 3 的倍数。

证  一个二进制数，如果前两位是“11”，后面有 n 个“0”，那么，这个二进制数就是
3×2^n 。例如，1100 就是 3×2^2＝12 ，1100000 就是 3×2^5＝96 ，等等。
    当二进制数中“1”的数字串长度都是偶数时，它总可以分解成若干个 3×2^n 之和，
例如，11110110＝11000000+110000+110 就是 3×2^6+3×2^4+3×2＝3×(64+16+2)＝246 。
因为这样的二进制数总可以分解成若干个 3×2^n 之和，所以它一定是 3 的倍数。
（注意：在这样的二进制数中，“0”的数字串长度，并不一定要求都是偶数。）  

技术员

谢谢陆教授的解惑。

技术员

抛砖引玉。如果是5的倍数二进制有什么规律呢？
质数的二进制中的0和1的排列到底有什么规律呢？

大傻8888888

    虽然任何大于3的自然数用2进制表示的话，相邻的1的个数是偶数的2进制自然数必是3的倍数。但是并不是所有3的倍数的2进制自然数里相邻的1的个数全部是偶数，如1001， 以及首尾是1、中间0的个数是偶数的2进制自然数同样是3的倍数。同时如10010、 100100......也都是3的倍数。当然1000010001001之类也都是3的倍数，因为这个数里前面的100001和后面的1001分别是3的倍数。具体的证明我就省略了，有兴趣的网友是可以证明的。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/22 11:05pm 第 1 次编辑]

                       判断一个二进制数能否被 3 整除的方法

    将一个二进制数，从个位起，分成两位一节两位一节，将分成的各节数字相加，如果相加
的和能够被 3 整除，那么，原来的二进制数也一定能被 3 整除，如果相加的和不能被 3 整除，
那么，原来的二进制数也一定不能被 3 整除。

    例如，246 写成二进制数是 11110110 ，将它分成两位一节后相加：
                  11+11+01+10（二进制）＝3+3+1+2（十进制）＝9 ，
因为 9 能被 3 整除，所以二进制数 11110110（即 246 ）能够被 3 整除。
    又例如，4233 写成二进制数是 1000010001001 ，将它分成两位一节后相加：
                  1+00+00+10+00+10+01（二进制）＝1+0+0+2+0+2+1（十进制）＝6 ，
因为 6 能被 3 整除，所以二进制数 1000010001001（即 4233 ）能够被 3 整除。
    又例如，8888 写成二进制数是 10001010111000 ，将它分成两位一节后相加：
                  10+00+10+10+11+10+00（二进制）＝2+0+2+2+3+2+0（十进制）＝11 ，
因为 11 不能被 3 整除，所以二进制数 10001010111000（即 8888 ）不能被 3 整除。

技术员

如何证明呢？陆教授。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/23 10:05am 第 1 次编辑]

                   判断一个二进制数能否被 5 整除的方法

    将一个二进制数，从个位起，分成两位一节两位一节，将分成的各节数字作一加一减运算，
如果一加一减运算的结果能被 5 整除，那么，原来的二进制数也一定能被 5 整除，如果一加
一减运算的结果不能被 5 整除，那么，原来的二进制数也一定不能被 5 整除。
    例如，2010 写成二进制数是 11111011010 ，将它分成两位一节后作一加一减运算：
                  1-11+11-01+10-10（二进制）＝1-3+3-1+2-2（十进制）＝0 ，
因为 0 能被 5 整除，所以二进制数 11111011010（即 2010 ）能够被 5 整除。
    又例如，8888 写成二进制数是 10001010111000 ，将它分成两位一节后作一加一减运算：
                  10-00+10-10+11-10+00（二进制）＝2-0+2-2+3-2+0（十进制）＝3 ，
因为 3 不能被 5 整除，所以二进制数 10001010111000（即 8888 ）不能被 5 整除。
    又例如，12345 写成二进制数是 11000000111001 ，将它分成两位一节后作一加一减运算：
                  11-00+00-00+11-10+01（二进制）＝3-0+0-0+3-2+1（十进制）＝5 ，
因为 5 能被 5 整除，所以二进制数 11000000111001（即 12345 ）能够被 5 整除。