再评阿贝尔的放电理论与电荷转移

雷明85639720

再评阿贝尔的放电理论与电荷转移
雷  明
（二○一五年十一月二十三日）

从所周知，对于任何一个平面三角剖分图来说，都有∑（6－k）&#8226k＝12的关系。这个关系说明，任何一个平面三解剖分图的任何顶点的度被6所减的差求和的结果都是恒等于12的。但后来希什却提出在四色猜测的证明中的放电理论和电荷转移，并由阿贝尔将该公式引入他的机器证明中。
阿贝尔在其《四色地图问题的解决》一文中说：“希什（Heinrich Heesch）似乎是肯普之后，公开声称四色猜测可以通过找出可约构形的不可避免集而得到证明的第一个数学家。希什在1936年开始搞这个猜测，对现存的理论作了些重要的贡献。”，“……希什引进一个找出构形（不必可约）的不可避免集的方法，类似于电网络中的移动电荷，但是他对待不可避免性思想却不是象他对待可约性思想那样热心。可是，最初以相当初等的形式在希什的工作中出现的这个‘去荷’方法在以后关于不可避免集的整个工作中却是有决定意义的。……”
1、阿贝尔《四色地图问题的解决》文中对放电理论的论述：
㈠　阿贝尔说：“如果对于每个k度顶点（即是有k个邻国），我们给它一个荷数6－k，那么度数大于6的顶点（称为主要顶点）就得到负的荷数，只有5度顶点才有正荷数。从肯普的工作可见，任何三角剖分的所有荷数之和正好是12。”阿贝尔这里说的就是公式∑（6－k）&#8226k＝12。接着阿贝尔又说：“12这个具体的和数并不很重要。非常重要的是：对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。”阿贝尔画了一个图9，是一个所有顶点的度都大于等于5的平面图，来说明公式∑（6－k）&#8226k＝12是正确的。并再一次定义“一个顶点的‘荷数’定义为6减去该顶点的度数。”又说：“不难证明；任何地图的总荷数都等于12。这个事实蕴涵：我们证明四色定理时所涉及的每个平面三角剖分中均存在正荷数顶点。”这就是坎泊的一个重要的思想——不可避免性。阿贝尔是这样描述这一不可避免性的：“这可以表示为下述说法：由一个国家与两个国家相邻组成的‘构形’、一国与三国相邻的构形、一国与四国相邻的构形、一国与五国相邻的构形所构成的集合（图5）是‘不可避免的’，即是每幅正规地图必须至少含有这四种构形之一。”
㈡　阿贝尔接着说：“现在假设，这样一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。特别是，假定正荷数从某些正荷（5度）搬到某些负荷（主要）顶点。这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变；例如某些5度顶点可能失掉正荷数（成为去荷顶点），而某些主要顶点却可能取得这样多的荷数，结果它们具有正荷数（成为超荷顶点）。不同的顶点按照所选的去荷手续或重新分配手续而成为去荷顶点或超荷顶点。”，“可是，对任意的对偶图给了祥细说明的去荷手续之后，可以把经过去荷之后含有正荷数顶点的所有构形列成一张有限的表（当然，这些构形中的每一个都可以重复不可预见的若干次）。换言之，正荷数只能出现在这个有限的构形集中。由于总荷数总是正的，所以总有某些顶点具有正荷数。因此，由于这张构形表中包含着所有可能的含有正荷数顶点的构形所以每个平面三角剖分必须至少含有这些构形之一。这个过程（从任一张地图产生特定的构形的表）是可行的，因为可以确定该地图的小块分布情况而不必知道完整地图的形状。”，“在证明四色定理时，这种对正荷数顶点去荷的目的是要找出一手续，恰当的说明如何移动荷数，以保证在产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。由于由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集，如果这些构形也是可约的，那么四色猜测也就得到了证明。当然，如果产生的构形并非全都可约，那么就没有取得任何真正的进展。事实上，肯普的不可避免集可以看成是完全不移动荷数这个不起作用的手续产生的不可避免集。”但如何证明“由这个手续标志出来的构形必定成为一个不可避免集”，阿贝尔并没有说明这一点。
㈢　接下来阿贝尔又说：“……考虑下述手续：从每一个5度顶点转移1/5单位的荷数到它的每个主要邻国。相应的不可避免集由两个构形组成：一个是一对5度顶点，由一条棱连接起来；另一个是一个5度顶点，由一条棱连接到一个6度顶点。”，“这些构形得到如下：一个5度顶点在这个手续终了时具有正荷数，它至少有一个邻国不是主要邻国，所以这个顶点必定保留正荷数；这个顶点或者有一个5度邻国（相应于不可避免集中第一个构形的情况），或者有一个6度邻国（第二个构形）。”，“一个6度顶点原来的荷数是0，因而不能接收任何荷数。一个7度顶点在手续终了时具有正荷数，它必须至少有六个邻国都是5度顶点；如果它至少有六个这样的邻国，其中必有两个由一条棱连接起来（不可避免集的第一个构形）。一个8度或更高度的顶点结果不可能具有正荷数，即使它所有的邻国都是5度顶。检查一个8度顶点就可以明白这种情况：它的原荷数是－2，而它能接收的最大正荷数是1/5的8倍，即1又3/5。”仍不能抵销2个负荷数。“于是，这两个（不可约）构形构成一个不可避免集，即是，由于这些计算适用于任何平面三角剖分（任何顶点的度数不小于5），所以每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”这两个构形就是（5，5）和（5，6）。以上这段话可能就是阿贝尔对（5，5）和（5，6）两个构形都是不可避免构形的证明，但这个证明是不能令人满意的，不能令人信服的。比如说，平面三解剖分图K3和K4中就不含有（5，5）和（5，6），平面三解剖分图——正二十面体中也没有（5，6）等。所以说“每个这样的平面三角剖分都含有这个不可避免集的两个构形之一。”并不都是成立的。
㈣　阿贝尔在对他的图10的说明中说：“去荷手续产生可约构形的不可避免集，做法是：把任意一个三解剖分（任何顶点的度数都不小于5）的正荷数重新分配，使得正荷数只出现在可约构形中（如何“使得正荷数只出现在可约构形中”并没有说明——笔者雷明注）。由于每张地图上都存在正荷数（这就是度为2、3、4和5的顶点——笔者雷明注），所以选取以各种邻接关系出现的构形就可以构成不可避免集。如果这个集合中的每个构形都是可约的，那么就不能存在任何最小五色地图，而四色定理得证。一个简单去荷手续的例子是从每个正荷数顶点转移1/5单位的荷数给它的每个负荷数邻国。一个5度顶点在这个过程终了时具有正荷数，它必须至少有一个5度邻国或一个6度邻国，使得它必须保留荷数。一个6度顶点决不会变成正荷数顶点，因为，它既然原来的荷数是0，就决不会接收正荷数。一个7度顶点最后具有正荷数，它必须至少有六个5度邻国；这时其中至少有两个是相邻的。度数大于7的顶点决不能接到足够的正荷数以抵销其原来的负荷数。这个去荷手续产生的不可避免集由两个构形组成：一个5度顶点，由一条棱同另一个5度顶点相连，以及一个5度顶点，由一条棱同一个6度顶点相连。这些构形不是可约的（但并没有证明，只是就这样交待了一下——笔者雷明注）。如果修改去荷手续，从每个正荷数顶点转移1/3单位的荷数给它的每个负荷数邻国，就会产生稍好一些的集合。如果转移1/2单位的荷数，则所产生的集合接近于作者的去荷手续的早期说法所产生的集合（为什么又要使每个正荷数顶点转移1/3和1/2单位的荷数呢，没有交待。“稍好一些的集合”是指什么，“作者的去荷手续的早期说法”又是指什么呢，都没有交待清楚——笔者雷明注）。”

从以上阿贝尔的四段话中，可以看出其说的是所带电荷为正的顶点（如度为2，3，4，5的顶点）构成的轮形构形都是平面三角剖分图中的不可避免构形；虽然也说了（5，5）和（5，6）构形也都是平面三角剖分图中的不可避免构形，但他并没有看到该两个构形并不是所有的平面三角剖分图中都一定含有的。而由这些不可避免构形构成的集合则是不可避免集。也能看出说只要这些构形都是可约的，就能说明四色猜测是正确的。阿贝尔的原话是说：“如果这些构形也是可约的，那么四色猜测也就得到了证明。当然，如果产生的构形并非全都可约，那么就没有取得任何真正的进展。”和“如果这个集合中的每个构形都是可约的，那么就不能存在任何最小五色地图，而四色定理得证。”
从阿贝尔的证明中，只能看到关于（5，5）和（5，6）构形是不可避免构形的证明，并没有看到他是如何证明该两构形的可约性的。他只是提了两次说这两个构形是不可约的，但没有进行证明。既然是用（5，5）和（5，6）构形来代替5—轮构形的，又已证明了其是不可避免的构形，又肯定的说该两构形是不可约的，那怎么能够得到四色猜测是正确的结论呢。只有证明了（5，5）和（5，6）构形是可约的时，才能说明5—轮构形也是可约的，才能说明四色猜测是正确的。他不是已经说过了“如果这些构形也是可约的，那么四色猜测也就得到了证明。”吗。既然现在还有不可避免的构形是不可约的，怎么能说四色猜测被证明是正确的呢。
2、王树禾教授《图论》书中对放电理论的论述：
王树禾教授《图论》一书第一版中，在对（5，5）和（5，6）构形是不可避免集的证明时，采用了放电理论与电荷转移。现抄录一段如下：
“证  令T是一个不含2次、3次和4次顶的三角剖分。我们约定开始时k次顶所带的电荷为6－k，由定理5.5，T上各顶总电荷为∑（6－k）•Pk＝12，其中Pk是k次顶的数目，而今k≥5。把带1个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的邻顶输送1/5个电荷。如果不存在5次顶与6次顶或5次顶与5次顶相邻的现象，每个5次顶必有5个开始时带负电荷的邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成零。考虑k≥7的顶，即使这种顶的邻顶皆5次顶，这种k次顶所获电荷最多为k/5，使它带的总电荷数为（6－k）＋k/5＝6＋k/5－k＝（30－4k）/5＜0（原书中印的是（6－k）＋k/5＝6＋k/6－k＝（36－5k）/6＜0。——笔者雷明注）。于是T上的总电荷量是负的，不是12，此矛盾证明，{（5，5），（5，6）}是不可避免集。证毕。”
当有读者提出当k＝7时，其所带的总电荷数（6－7）＋7/5＝6＋7/5－7＝（30－4×7）/5＝2/5≮0时，王教授在第二版时，这一部分便改成了“考虑k≥7的顶，这种k次顶所获电荷最多为k/10，使它带的电荷数不大于（6－k）＋k/6＜0。于是T上的总电荷量是负的，不是12，此矛盾证明，{（5，5），（5，6）}是不可避免集。证毕。”
这简直是太随意性了吧。好象是为了凑数一样。读者说k＝7时，总电荷数不小于0，他就把公式中的k/5，改成k/10，不就不大于0了吗。这样一个非常严肃的科学问题，怎么说改就改了呢。他虽然把公式改了，但每个5次顶每次所输送的电荷又忘了把1/5改成1/10。这也太的随便了吧。说改就改这还叫科学吗，一次又不改完，却又还剩了一点尾巴。
从约定的“k次顶所带的电荷为6－k”看，k≥7的顶，所带的电荷数本来就都是负的，通过电荷转移后仍旧得到了所带的电荷总量是小于0的，这有什么意义呢。只从某些k≥7的顶所带的电荷总量是小于0的，又怎么能推得“T上的总电荷量是负的，不是12”呢。带一个单位正电荷的5次顶是不是都把所带的电荷转移完了呢。根本没有。无论你怎么转移，T上的总电荷量仍将是12，是正的，而不可能是负的。所以说，所谓的电荷转移理论根本就与一个构形是不是不可避免的是没有任何关系的。这清清是在这里盲目的为崇拜阿贝尔的“证明”，在有意的凑合嘛。
从这里也可以看出有些所谓的大人物，也是在胡乱的使用着证明方法，只要凑合着能得出矛盾的结果，或者是错误的结果，就认为是用了反证法。这简直是在对数学证明方法的贱蹋。
3、我自已的看法：平面三角剖分图的不可避免构形集就只能是坎泊提出的度为2、3、4和5的顶点构成的轮形构形，这是最完备的不可免集；5—轮构形就是5—轮构形，不能用别的构形去代替，也是代替不了的；5—轮构形爱好者已经证明是可约的，四色猜测可以证明是正确的了；一个构形就只有一个待着色顶点，多于一个是不必要的。因为你着色时总是一个顶点一个顶点的着，到最后剩下来的还是一个有5度的顶点，是一个5—轮构形；（5，5）和（5，6）构形是不必要研究的，更没有必要用放电理论和电荷转移去证明它是否是不可避免的构形或是否是可约的构形。放电理论和电荷转移是不能用在四色猜测的证明中来的；阿贝尔的证明是错误的，它只能是用计算机对2000个特殊的图进行了4—着色的验证，与我们用手工对其验证没有什么两样，同样也只是验证了个别的图，不可能把所有的图都验证完，四色猜测也就不可能得到彻底的证明；机器只所以可以验证，是因为人会对图进行着色，人可以把着色的方法、步骤编写成程序，交给计算机去执行，代替人去工作。但人不会做的事，计算机也绝对是不会做的；正是由于图或构形是永远也画不完的，所以我并不主张用着色的方法去解决四色问题，而主张走“不画图、不着色”的道路，用图论中已经被证明是绝对正确的欧拉公式去解决四色问题；我已在这方面作出了证明，请见该《中国博士网》上我的《手工证明四色猜测是正确的》和《四色猜测与欧拉公式》两篇论文。网址分别是：  。


                            雷  明
二○一五年十一月二十三日于长安

注：此文已于二○一五年十一月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：
   

雷明85639720

，，，，，，，，