不等式两端同时进行取极限运算，不等式仍然成立吗？

Addylee · 发表于 2010-9-23 20:54

[这个贴子最后由Addylee在 2010/09/23 10:00pm 第 11 次编辑]

单调有界数列 $a_n$ 及单调有界数列 $b_n$ 对一切自然数n均满足 $a_n \\leq b_n$ 那么能否得到以下结论，因为单调有界数列必有极限，因此取极限运算是有意义的。
$a_n \\leq b_n \\Rightarrow \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_n \\leq \\lim_{n \\rightarrow \\infty} b_n$
也就是说，对不等式两端同时取极限运算，不等式仍然恒成立。这个看起来似乎是很显然的，特别地，当 $b_n=C$ ，其中C是一常数时，以下不等式成立：
$a_n \\leq C \\Rightarrow \\lim_{n \\rightarrow \\infty} a_n \\leq C$
如果可以，要如何证明呢？我想了很久，也Google了，就是没找到满意的答案。谢谢。
刚才仔细想了下，单调有界数列的极限是一定存在的，并且极限就是数列的上/下确界。因此这里的问题转变成由
$a_n \\leq b_n$
得出他们的上/下确界一定满足那个不等式。先考虑最简单的情况，假设 $a_n$ 和 $b_n$ 都是单调递增的。则以下结果成立
$a_n \\leq b_n \\Rightarrow sup \\begin{Bmatrix} a_n \\end{Bmatrix} \\leq sup \\begin{Bmatrix} b_n \\end{Bmatrix}$
那么要如何根据上确界的定义来证明这个呢？谢谢！

elimqiu · 发表于 2010-9-23 23:21

a(n)≤b(n)≤sup{b(j)}
a(n)≤sup{b(j)} → sup{a(i)}≤sup{b(j)} → lim a(n) ≤ lim b(n)

luyuanhong · 发表于 2010-9-23 23:45

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/23 11:48pm 第 1 次编辑]

Addylee · 发表于 2010-9-24 13:10

非常感谢你的解答！！

Addylee · 发表于 2010-9-24 13:32

[这个贴子最后由Addylee在 2010/09/24 03:03pm 第 3 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/09/23 04:21pm 发表的内容： a(n)≤b(n)≤sup{b(j)} a(n)≤sup{b(j)} → sup{a(i)}≤sup{b(j)} → lim a(n) ≤ lim b(n)

非常感谢，你说的有一定道理，但是由于 $\\lim_{n \\rightarrow \\infty}a_n \\subseteq sup\\begin{Bmatrix} a_n \\end{Bmatrix}$ 并不是总是成立的。例如对于 $\\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{1}{n} = 0$ 但是 $0 \\nsubseteq \\begin{Bmatrix} a_n \\end{Bmatrix}$ ，即极限值不一定等于数列中的某一个确定的成员。而是无限接近，但不等于。因此，在没有额外证明的情况下，不能直接得到下面这个推理吧： $a_n \\leq sub \\begin{Bmatrix} b_n \\end{Bmatrix} \\Rightarrow sup\\begin{Bmatrix} a_n \\end{Bmatrix} \\leq sub \\begin{Bmatrix} b_n \\end{Bmatrix}$ 也就是说，如果A

elimqiu · 发表于 2010-9-24 23:16

考虑的是单调递增数列对于这样的数列，如果它有上界，那么其极限不会大于这个上界。

elimqiu · 发表于 2010-9-24 23:26

设 a(n) = n/(n+1) < 1 < (n+1)/n = b(n)
那么 a(n) < b(n) 但 lim a(n) = 1 = lim b(n)
所以极限不保持严格不等号。

Addylee · 发表于 2010-9-26 12:38

下面引用由elimqiu在 2010/09/24 04:16pm 发表的内容：
考虑的是单调递增数列对于这样的数列，如果它有上界，那么其极限不会大于这个上界。

非常感谢您的回复！
仔细想了一下你的回复，单调有界数列，其极限不会大于这个上界也就是说，a(n) ≤ sup{a(i)}，就相当于：
a(n)≤sup{b(j)} 且 a(n) ≤ sup{a(j)} → sup{a(i)}≤sup{b(j)} → lim a(n) ≤ lim b(n)
似乎在没有额外推理的前提下，这个推断仍然不成了。

Addylee · 发表于 2010-9-26 12:42

下面引用由elimqiu在 2010/09/24 04:26pm 发表的内容： 设 a(n) = n/(n+1) < 1 < (n+1)/n = b(n) 那么 a(n) < b(n) 但 lim a(n) = 1 = lim b(n) 所以极限不保持严格不等号。

非常有道理啊，这提醒了我，也就是说，题设那个 ≤ 符号是一定要的，如果改成 <，则不一定成立了。之前我没仔细想，想当然的认为，< 也可以了。非常感谢，真是越辩越清楚了！

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Addylee 在时添加 -=-=-=-=- 这就意味着“ 不等式两端同时进行取极限运算，不等式仍然成立吗？” 答案是不一定的！

		自动登录	找回密码
密码			注册

不等式两端同时进行取极限运算，不等式仍然成立吗？