给定 a, b > 0,设变量 x, y 满足x+y=a+b,求a√(a^2+x^2)+b√(b^2+y^2) 的最小值

elim

这是网友 HOFFMAN 的题目。

wangyangke

给定 a, b > 0,设变量 x, y 满足x+y=a+b, 求  a√(a^2+x^2)+b√(b^2+y^2) 的最小值。
min{a√(a^2+x^2)+b√(b^2+y^2) }= min{a√(≥2ax)+b√(≥2by) }=min{a√(≥2a∧2)+b√(≥2b∧2)} =min√2{a∧2+b∧2 }=√2(a∧2+b∧2)

elim

结果应为 (a+b)√(a^2+b^2). 论证似乎不易。

luyuanhong

此题解答如下：

elim

谢谢陆老师的解答. 我的疑惑是，如何排除边界值为最小。它们是

u = a^2 + b√(b^2+(a+b)^2), 以及 v = b^2 + a√(a^2+(a+b)^2)

我们需要证明  min(u,v) ≥ (a+b)√(a^2+b^2).  这是一个独立的趣题。

这里有一个避免这方面论证的解(其实要证明曲线在L: y = (-a/b)(x-a-b) 的右侧，并且关于L 凸)：

elim

这个结果较繁，但论证是完全的。

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。