简单的题目不好证

ccmmjj

已知a,b,c,d是四个不同的正数且ad=bc,
（１）如果b在a、d之间，求证：c也在a、d之间。
（２）在（１）的条件下，求证：a+d>b+c。

moranhuishous

证(1)
如果b在a、d之间，不妨设
a<b<d  (设a>b>d效果相同)
此时
若c<a,
则ad>bc
与题设矛盾；
若c>d
则ad<bc
与题设矛盾，
所以只有
c也在a、d之间。

不妨设a<b<c<d,

证(2)
因为a<b,
若d<=c
则ad<bc
所以必有
a+d>b+c

证毕。

非常数1

moranhuishous 发表于 2015-12-24 19:49
证(1)
如果b在a、d之间，不妨设
ad效果相同)

不是很详细
请讨论 a<b,(c<a) ad<bd -> cd<bd -> c<b 不过是循环
所以需要用到极值的概念 也是设个函数 然后求导 可证

moranhuishous

还是“急就章”，详不详细的就它了。

ccmmjj

moranhuishous 发表于 2015-12-24 11:49
证(1)
如果b在a、d之间，不妨设
ad效果相同)

（1）证明正确无误。但（2）的证明不对，明显不对。

moranhuishous

ccmmjj 发表于 2015-12-25 00:01
（1）证明正确无误。但（2）的证明不对，明显不对。

哦，(2)的证明是错了。

纠正下，下面给个几何证法

引理（这个应该有吧）
相同面积的矩形，其长与宽之比值越大其周长越大。

因为ad=bc,
且a<b<c<d
所以d/a>c/b
由引理，可得
a+a+d+d>b+b+c+c
即
a+d>b+c
证毕

云影随风

证（2）
已知b,c点均处于a,d点的区间内,且ad=bc
则|a-d|>|b-c|
故(a-d)^2>(b-c)^2
左边+4ad,右边l+等值4bc
得(a-d)^2+4ad>(b-c)^2+4bc
解得(a+d)^2>(b+c)^2
开方(a+d)>(b+c)
毕
证（1）
已知a,b,c,d是四个不同的正数且ad=bc，如果b在a、d之间，求证：c也在a、d之间
设a<b<d  (设a>b>d亦可)
因ad=bc
故c=ad/b=(a/b)d=(d/b)a
因a/b<1,d/b>1
故c<d,c>a
毕

ccmmjj

楼上证得好。

moranhuishous

文贵简洁，仍为6楼思路，谨将文字修饰为

证（2）

因ad=bc,  且a<b<c<d
则d/a>c/b
可得a+a+d+d>b+b+c+c
即相同面积之两矩形，其长宽比大者周长大矣。
即 a+d>b+c
证毕

ccmmjj

相同面积之两矩形，其长宽比大者周长大，这个定理应该用本题来证。