回复一个老帖证明

ccmmjj

denglongshan在2009年发的一帖，大概是转自“东方数学论坛”，题目是：设O点是△ABC的内接正三角形DEF的中心，P点是△ABC的九点圆心。
求证：OP与△ABC的Euler线相互垂直的充要条件是：△ABC的某一内角等于60°。
在那个论坛里我没看到纯几何的证明，原帖尚存，但看不到图片，留下的文字也看不到象样的证明。这大概是denglongshan网友仍记挂的原因罢！
这个题目的证明要用到一个结论：三角形九点圆的圆心是其外心和垂心的中点。
关于这个结论的正确性可以到网上查找，如果信任本网的话请移步鄙帖“http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1”，那里有详细的讨论和证明。

先证明一个引理：若三角形有一角等于60度，那么其内接正三角形的中心必在这个角的角平分线上。

证明：如图，Ａ角是60度，ＤＥＦ是△ABC的内接正三角形，Ｑ是其中心。于是角DQF=120度，则ＡＤＦＱ四点共圆。又有ＱＤ＝ＱＦ，可知ＱＤ弧＝ＱＦ弧，于是角ＱＡＤ＝角ＱＡＥ，即ＡＱ平分角Ａ，Ｑ在角Ａ的平分线上。证毕
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由于时间关系，先发到这里，等半天后发。

ccmmjj

第二个引理：三角形顶点到外心的连线和这个顶点上的高所在直线关于这个顶点的角平分线对称。

证明：如图，三角形ABC中，Ｏ是外心，ＡＤ是角平分线，ＡＥ是高，那么∠EAC＝90°-∠C，
∠ＡＯＢ＝2∠Ｃ，OA=OB　知　∠OAB=(180°-2∠AOB)/2=90°-∠C。
又由ＡＤ是角平分线，所以　∠BAD=∠CAD即有∠BAD-∠OAB=∠CAD-EAC,所以∠OAD=∠EAD,
得直线ＡＯ和ＡＥ关于直线ＡＤ对称。
第三个引理：顶点到垂心的距离等于外接圆直径乘以这个顶角的余弦的绝对值。
这个定理我就不证明了,网友容易找到对应资料。对以上图，即为　ＡＨ＝2Ｒcos∠A　。
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因为家人要抢电脑，未完，待续。

ccmmjj

如果　△ABC有两个角是60°，那么它是一个正三角形，不难证明，它的内接正三角形和它同心，这时候它的外心、垂心、九点圆心都是同一点，欧拉线也没定义，所以说，讨论正三角形ABC是没意义的。以下我们只讨论只有一个角是60°的三角形ABC，从这里也可以看出原题目第一个不严谨的地方。
现在证明如下命题：
设O点是△ABC的内接正三角形DEF的中心，P点是△ABC的九点圆心。 △ABC的只有一内角等于60°。求证：OP与△ABC的Euler线相互垂直。

证明：不妨设∠Ａ＝60°，如图；由前帖引理，Ｏ在角Ａ平分线ＡＤ上，Ｐ是外心Ｗ和垂心Ｈ的中点即九点圆心，WH就是欧拉线，设外接圆半径为R,则ＷＡ＝Ｒ，由前引理三，ＡＨ＝2Ｒcos60°=R,知AWH是等腰三角形，得ＡＤ垂直平分WH,即有ＯＰ垂直于WH。证毕。

ccmmjj

关于这道题从垂直推出一角等于60度的证明，纯几何法是很难做出来了。我前面的证明和东方论坛的有所不同，那个论坛里后面关于混合三角之类的证明，不是我喜欢的类型。网友可以自行参考。网址是/bbs.cnool.net/8522122.html，那个帖子里有一个结论，“△ABC（非正三角形）的内接正三角形的中心轨迹是一条垂直于Euler线的直线（直线应改为线段）”，如果这个结论可以用纯几何方法证明的话，这个命题的全部纯几何证明就会完成，浪费了我两天的时间，就此打住。

denglongshan

谢谢老师的精彩证明，花费两天时间，说明难度很大

denglongshan

对于外接正三角形也成立。

denglongshan

内接正三角形是多余条件，充分条件似乎用复数不难证明，虽然你不喜欢。