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猫和老鼠的-一维随机行走烧脑题

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发表于 2019-3-10 18:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
问题描述:
老鼠从坐标原点0出发,一天只能走一个格,向左向右各50%的可能性。问老鼠平均能活几天?走进最左或最右就被猫吃死(老鼠走到-3或者3就死) 。

提高:如果老鼠走到-11或者11就死.老鼠平均能活几天?程序语言不限。(MATLAB,C,C++,Python…)

PS:图片怎没法上传?
发表于 2019-3-10 23:38 | 显示全部楼层
在下面的帖子中,我推导出了这样一个结论:

从 x=0 出发,每次随机向左或向右移动 1 单位,到达 x=±n 处就结束,所需平均移动次数为 n^2 次。

对于 “猫和老鼠” 的问题来说,相当于上述模型中 n=11 的情形,所以答案是老鼠平均能活 11^2=121 天。




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 楼主| 发表于 2019-3-11 01:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 markfang2050 于 2019-3-11 17:41 编辑

陆老师这样的解答倒也有些合理。
实际上这是一个典型的马尔可夫链过程。
但对于x0在非对称域【-11,15】如何解得?
对于老鼠:
x0=3在非对称域【1,7】如何解得?(100000次python3.6模拟猫和老鼠一维随机行走老鼠平均能活8.005400天。)
x0=2在非对称域【1,7】如何解得?(100000次python3.6模拟猫和老鼠一维随机行走老鼠平均能活4.961360天。)
x0=4在对称域【1,7】如何解得?(100000次python3.6模拟猫和老鼠一维随机行走老鼠平均能活9.011540天。)
x0=0在对称域【-11,11】如何解得?(100000次python3.6模拟猫和老鼠一维随机行走老鼠平均能活120.900360天。)
x0=0在非对称域【-11,15】如何解得?(1000000次python3.6模拟猫和老鼠一维随机行走老鼠平均能活164.896856天。)

如果理论上求解要用到马尔可夫链状态转移概率矩阵。
实际上很多概率问题采用计算机模拟计算准确度很高,效率与可移植性很好。
发表于 2019-3-11 14:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2019-3-11 14:38 编辑

在下面的帖子中,我推导出了这样一个结论:

从 x=x0 出发,每次随机向左或向右移动 1 单位,到达 x=m 或 x=n 就结束(m≤x0≤n),所需平均移动次数为

                               (x0-m)(n-x0) 次。

例1  当 x0=3 ,[m.n]=[1,7] 时,老鼠平均能活 (x0-m)(n-x0) = (3-1)×(7-3) = 2×4 = 8 天。

例2  当 x0=2 ,[m.n]=[1,7] 时,老鼠平均能活 (x0-m)(n-x0) = (2-1)×(7-2) = 1×5 = 5 天。

例3  当 x0=4 ,[m.n]=[1,7] 时,老鼠平均能活 (x0-m)(n-x0) = (4-1)×(7-4) = 3×3 = 9 天。

例4  当 x0=0 ,[m.n]=[-11,11] 时,老鼠平均能活 (x0-m)(n-x0) = (0+11)×(11-0) = 11×11 = 121 天。

例5  当 x0=0 ,[m.n]=[-11,15] 时,老鼠平均能活 (x0-m)(n-x0) = (0+11)×(15-0) = 11×15 = 165 天。




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 楼主| 发表于 2019-3-11 17:46 | 显示全部楼层
问题描述:
老鼠从4出发,一天随机走[0-1]格,向左向右各50%的可能性。问老鼠平均能活几天?走进最左或最右就被猫吃死(老鼠走到7或者1就死) 。
 楼主| 发表于 2019-3-11 22:18 | 显示全部楼层
猫与老鼠续:一维非对称域不定步长随机游走模型
问题描述:
老鼠从4出发,一天随机走[0-1]格,向左30%向右70%的可能性。问老鼠平均能活几天?走进最左或最右就被猫吃死(老鼠走到9或者1就死) 。
 楼主| 发表于 2019-3-11 23:48 | 显示全部楼层
如果老鼠初始位置在0处,走到-3或者5的非对称域就死。向左行走概率80%,向右行走概率20%。步长=1。

1000000次python3.6模拟猫和老鼠一维不等概率随机行走老鼠平均能活4.990438天。
 楼主| 发表于 2019-3-11 23:48 | 显示全部楼层
如果老鼠初始位置在0处,走到-3或者5就死.向左行走概率20%,向右行走概率80%。步长=1。 10000000次python3.6模拟猫和老鼠一维不等概率随机行走老鼠平均能活8.126004天。
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