从左下角到右上角，有 9 个 → 和 9 个 ↑ ，求走到第 n 步时转弯的概率 P(n)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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    一条从 A 到 B 的路径，共有 18 步，其中有 9 个 → 和 9 个 ↑ 。

可以设想将 9 个 → 和 9 个 ↑ 堆放在一起，然后随机取出，放到 18 步的位置上去。

   现在我们只考虑在第 n 步与第 n+1 步之间会不会有转弯的事情。

   可以设想，我们先不放其他位置的箭头，第一个就来先来放第 n 步位置上的箭头。

（我们这样做，完全是可以的，因为并没有规定说，箭头一定要从第 1 步位置开始放。）

由于现在还没有放过其他位置的箭头，所以一堆中共有 18 个箭头，其中有 9 个 → ，

从中取到一个 → 的概率是 9/18 。

下面再来放第 n+1 步位置上的箭头，因为一堆中已经取走了一个箭头，还剩 17 个箭头，

其中有 9 个 ↑ ，这时要有转弯，就必须取到一个 ↑ ，这样的概率为 9/17 。

总之，第 n 步恰好放 → ，第 n+1 步恰好放 ↑ 的概率为 (9/18)×(9/17) 。

同样道理，第 n 步恰好放 ↑ ，第 n+1 步恰好放 → 的概率也是 (9/18)×(9/17) 。

上面两种情形，都可以使得在第 n 步与第 n+1 步之间发生转弯，所以，在第 n 步

与第 n+1 步之间发生转弯的概率为

        (9/18)×(9/17)+(9/18)×(9/17)=(2×9×9)/(18×17)=9/17 。

上面的计算，是特别对第 n 步与第 n+1 步来作的，但由于计算结果中不出现 n ，所以

这计算结果又是对任何一处都是成立的，也就是说，任何一处发生转弯的概率都是  9/17 。