一个思考的好题

ccmmjj

众的周知，三角形有一个中位线三角形，三条中位线所构成的三角形是原三角形有相似形比为1：2。但是，从未有教科书提到过它的逆。它的逆命题成立吗，经过我两场监考时间的思考，发现它是成立的。而它的证明，却不容易。现将问题介绍如下，喜欢的同志可以思考解答。

中位线三角形定理：若三角形内有一内接三角形的每条边都是原三角形的对边的二分之一，求证：这个内接三角形是原三角形的中位线三角形。

风花飘飘

云影随风

借用风花飘飘的图。
设三角形abc是三角形ABC的内接三角形，由于ab/AB=ac/AC=bc/BC=1/2成比例，所以三角形abc是三角形ABC的相似三角形。
将三角形abc旋转，并将a点与A点重合，ab边与AB边重合，那么ac边必与AC边重合。
因ab/AB=1/2，故b点位于AB的中点，同理，c点位于AC的中点，所以bc为三角形ABC的中位线，同理可证ab和ac都是三角形ABC的中位线。
所以，内接三角形abc是原三角形ABC的中位线三角形。
毕
补充作图如下：

ccmmjj

我要说一下，风花兄的可证是不容易的。要的就是这个证。
楼上的云影随风的证明是不能成立的。首先，风花的图并没有证明。在这种前提下，旋转重合是不存在的。

云影随风

ccmmjj 发表于 2016-1-27 00:09
我要说一下，风花兄的可证是不容易的。要的就是这个证。
楼上的云影随风的证明是不能成立的。首先，风花的 ...

1、根据三角形相似判定定理3：三边成比例，两三角形相似。所以abc与ABC相似。
相似三角形对应角相等，顶点重合，角两边不重合吗？
2、如果重合，按比例关系，b点c点分别是AB边和AC的中点，连线不正是中位线？三边都分别是中位线——这一步到结论有问题？如果有问题，那就这样：
3、取重合三角形abc和Abc，它们全等，将abc旋转180度，组成平行四边形Abac，结果应出来了吧。

ccmmjj

关键是abc和Abc不一定全等。从原题上看，它们只有一角一边相等。要证明b、c都是中点，不简单。不能想当然。abc与ＡＢＣ相似不错，当未必与Abc相似。

风花飘飘

ccmmjj 发表于 2016-1-26 18:07
关键是abc和Abc不一定全等。从原题上看，它们只有一角一边相等。要证明b、c都是中点，不简单。不能想当然。 ...

这个证明还是很简单的。
1、ABC与abc相似（这没有问题吧），则对应角相等。
2、利用内角和都等于180度，证得若干角相等，从而证得若干线段平行。
3、得证。

举例说明：三角形DEF与三角形GHR角度关系，若D+G=E+H，则F=R。

云影随风

ccmmjj 发表于 2016-1-27 02:07
关键是abc和Abc不一定全等。从原题上看，它们只有一角一边相等。要证明b、c都是中点，不简单。不能想当然。 ...

我说的这个Abc不是原图中的那个，是旋转以后重截取的，改名叫Ab’c‘吧。
按题意，a、b、c三点可在相应边的任意位置，不能确定它们处于中点位置，所以要旋转。重叠后比较。
也许有可能出现在对称位（反向），翻转后才能重叠，这样的话，是不是命题不成立呢？
如果不出现对称位，我这样证应是可以吧？

云影随风

似乎出现反向abc是完全存在的，需要翻转，才能成为中位线三角形。


又：再审题，对边长的一半，顺序是对应了的，就不会出现反向，那么，我那证法应可行吧。

风花飘飘

云影随风 发表于 2016-1-26 19:12
似乎出现反向abc是完全存在的，需要翻转，才能成为中位线三角形。

不需要那么麻烦，纯的一道角度关系证明题，只要有了两三角形相似。直得3个平行四边形。即可。