数学中国

标题: 正三角形 ΔDEF 三顶点分别在 ΔABC 三条边上，BD=CE=AF，求证：ΔABC 也是正三角形 [打印本页]

作者: ccmmjj 时间: 2016-2-9 10:11
标题: 正三角形 ΔDEF 三顶点分别在 ΔABC 三条边上，BD=CE=AF，求证：ΔABC 也是正三角形
如图，已知三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ，且三角形ＤＥＦ是正三角形，求证：三角形ＡＢＣ也是正三角形。
[attach]42353[/attach]

作者: ccmmjj 时间: 2016-2-12 01:42
没人做？这是一个网上的题目。我想到了一个巧妙的方法，需要用到以下事实。
如图：圆Ｏ外的点Ａ到圆上点Ｂ的距离，当∠Ｏ越大时ＡＢ越大，或∠Ｂ越小时ＡＢ越大。这个证明很简单，就不写了。由于ＯＢ是定值，这个结论也可以写作：圆Ｏ外的点Ａ，当∠Ｏ越大时ＡＢ+ＯＢ越大，或∠Ｂ越小时ＡＢ+ＯＢ越大。

作者: ccmmjj 时间: 2016-2-12 02:19
现在我们来证明这个结论。不妨先假设∠Ａ>∠C>∠Ｂ是最小的，以Ｅ为圆心，ＥＣ为半径作圆。作△DA'E≌△EAF,△DB'E≌△FBD。这时候可知DB'+B'E>DC+CE>DA'+A'E;当然这就是FB+BD>DC+CE>EA+AF.由已知，得出AB>BC>AC,于是有∠C>∠Ａ>∠Ｂ.这就产生了矛盾。

作者: ccmmjj 时间: 2016-2-12 02:33
现在问题在等腰三角形的否定了。不妨设∠Ａ＝∠C但不等于∠Ｂ。　这时A'与Ｃ重合。DC+CE=DA'+A'E=EA+AF,于是可得ＢＣ＝ＡＣ，所以∠Ａ＝∠Ｂ，这又是一个矛盾。

作者: ccmmjj 时间: 2016-2-12 02:42
引理的点Ａ在圆外，稍做修改，可以知道Ａ在圆内或圆上有类似结论，可以对不同情况作全面证明，这点就留给有兴趣的同志做练习了。

作者: 波浪 时间: 2018-2-20 11:44
哦，原来ccmmjj先生早有研究，待俺慢慢拜读。谢谢。

作者: 波浪 时间: 2018-2-20 12:04
此题如果把三角形问题，改成凸四边形问题，能否有类似的结论？

作者: ccmmjj 时间: 2018-2-20 14:05

波浪发表于 2018-2-20 04:04
此题如果把三角形问题，改成凸四边形问题，能否有类似的结论？

不客气，一般我只做基础证明，不爱做复杂推论，所以没考虑过。

作者: 波浪 时间: 2018-2-21 11:37
本帖最后由波浪于 2018-2-21 03:44 编辑

内接正三角形问题

作者: 任在深 时间: 2018-2-21 16:58

波浪发表于 2018-2-21 11:37
内接正三角形问题

很好哇！
按部就班，有点复杂？
如果从结构数学的角度出发就简单多了。

作者: ccmmjj 时间: 2018-2-21 17:35

波浪发表于 2018-2-20 03:44
哦，原来ccmmjj先生早有研究，待俺慢慢拜读。谢谢。

本来不想对这个问题再做说明，不想波浪先生看不懂反证法，只好再做说明了。
什么叫反证法？就是在命题的条件下否定命题的结论而推出矛盾。波浪在点评中说：
“你现在图中该是条件中3条线段等长的情况。显然里面的三角形已不是正三角形了，所以用DE为公用边去作另两个三角形，是根本做不到的事情。”这句显然里面的三角形已不是正三角形了这句话就太外行了，因为里面的三角形是正三角形是原命题的条件，我们在使用反证法时要全盘接受原命题的条件，不仅是原命题的第一个条件，是所有条件都接受。所以由于边角边的关系，这两个全等三角形是完全能做出来的！
关于你的第二个点评，和第一个类似，充满思想混乱和对数学证明的无知。三线段等长及里面的三角形形状怎样是题目条件告诉我的，不是你想当然的，而作为反证叙述，我只要接受这两条件，而假设结论不成立，从而得出矛盾就可以。这个矛盾，就说明了在题目的条件下，去否定结论是办不到的事情，从而肯定了命题的正确性。这就是反证法。

作者: 波浪 时间: 2018-2-21 18:54
本帖最后由波浪于 2018-2-21 11:01 编辑

看看前人的说法

作者: 波浪 时间: 2018-2-21 20:27
历史在告诫我们：推理的起点，必须无可挑剔，否则就会错上加错。

作者: denglongshan 时间: 2018-2-22 20:05
还没有见过代数证明方法。

作者: denglongshan 时间: 2018-2-23 20:48

波浪发表于 2018-2-21 03:37
内接正三角形问题

恐怕不容易算

作者: denglongshan 时间: 2018-2-26 21:35
楼主老师：
已知三角形ＡＢＣ中，三边上各一点ＤＥＦ是正三角形，结论ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ是否成立？

作者: denglongshan 时间: 2018-3-1 23:38

denglongshan 发表于 2018-2-26 13:35
楼主老师：
已知三角形ＡＢＣ中，三边上各一点ＤＥＦ是正三角形，结论ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ是否成立？

忘记写正字了，既是已知正三角形ＡＢＣ中，三边上各一点ＤＥＦ是正三角形，结论ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ是否成立？

作者: ccmmjj 时间: 2018-3-2 09:02

denglongshan 发表于 2018-3-1 15:38
忘记写正字了，既是已知正三角形ＡＢＣ中，三边上各一点ＤＥＦ是正三角形，结论ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ是否成立 ...

若按Ｄ在ＢＣ上，Ｅ在ＣＡ上及Ｆ在ＡＢ上之依次顺序，料想命题成立。此问题，不知是否研究过。

作者: wangyangke 时间: 2018-3-9 13:31
1.A、B、C三点分别在对等半径的圆周上；
2.A、B、C三点分别在对等半径的圆周上，而且，相对三角形D/E/F的关系对等；这就决定A、B、C三点成正三角形。

作者: denglongshan 时间: 2018-3-13 22:11
对等半径是什么？

作者: wangyangke 时间: 2018-3-14 07:26
对等半径=BD=CE=AF

作者: wangyangke 时间: 2018-3-14 07:28

denglongshan 发表于 2018-3-13 14:11
对等半径是什么？

对等半径=BD=CE=AF

作者: denglongshan 时间: 2018-4-17 21:03
用向量商概念出现六次方程，软件无法求解。

作者: denglongshan 时间: 2018-4-18 21:39
有了很大进展，希望有关心机器证明的同志一起探讨。

作者: denglongshan 时间: 2018-4-18 21:45
天山草老师在哪里？

作者: 费尔马1 时间: 2018-4-19 18:20
本帖最后由费尔马1 于 2018-4-19 18:27 编辑

这个题反过来证明就简单了。先假设三角形ABC是正三角形，证明三角形AEF等三个小三角形全等，再证明里面的三角形DEF也是正三角形。如果不是这样，就不会出现原题设的条件。
这个题本来是顺其自然的事，出题人本末倒置，半悬空中出了这么一个题，所以，把老师们搞的手忙脚乱，无从下手。

作者: denglongshan 时间: 2018-4-19 21:01
[attach]66245[/attach]

作者: denglongshan 时间: 2018-4-19 21:02

denglongshan 发表于 2018-4-19 13:01

v就是角A，等于六十度。

作者: elim 时间: 2018-4-20 01:16
以下的证明是 ccmmjj 3楼的证明的一个重述。

[attach]66253[/attach]

作者: 费尔马1 时间: 2018-4-20 09:53
这类题属于均衡图的比例缩放，正方形也是如此，正n边形也如此。

作者: Ysu2008 时间: 2018-4-20 15:49
此题有一个更一般的形式，就是不好证。

[attach]66263[/attach]

作者: 费尔马1 时间: 2018-4-20 16:37
好好的研究研究，是不是真的为相似三角形？

作者: Ysu2008 时间: 2018-4-20 16:43

费尔马1 发表于 2018-4-20 08:37
好好的研究研究，是不是真的为相似三角形？

在绘图软件上凭肉眼观察，看着像，但我没证出来。
大家可以尝试一下。

作者: elim 时间: 2018-4-20 21:55

Ysu2008 发表于 2018-4-20 00:49
此题有一个更一般的形式，就是不好证。

这个一般形式不成立。反例比比皆是。就是把 A', B', C' 定为任意定比分点，结论基本上还是错的。

作者: wangyangkee 时间: 2018-4-21 08:19
正N边形，N趋于无穷大，还用那么证么，，，

作者: elim 时间: 2018-4-21 10:34
这个主题依我看是得到最多关注的．我转发到罗马尼亚的一个热门数学论坛，立即有人问我出处．着到几个解法，都没啥水平

作者: Ysu2008 时间: 2018-4-21 10:34

Ysu2008 发表于 2018-4-20 07:49
此题有一个更一般的形式，就是不好证。

我的猜测确实不成立。

作者: 费尔马1 时间: 2018-4-21 17:42
这个题，您看看，作图如果先作三角形ABC，再作三角形DEF，易如反掌，但是，如果按题设的条件，先作三角形DEF,再作三角形ABC，简直要多花百倍的工夫，可见，本题是本末倒置。

作者: 谢芝灵 时间: 2018-4-21 20:23
本帖最后由谢芝灵于 2018-4-27 08:57 编辑

证明：
因为ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ
分析（一）由：F→A；D→B；E→C
[attach]66308[/attach]
得：FA两点重合；DB两点重合；EC两点重合。
有 △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
分析（二）由：F→B；D→C；E→A
[attach]66309[/attach]
令：AB≥BC≥CA
由于CA可能最短，得 E、A两点重合时，FB≥0；DC≥0
若FB＞0，
[attach]66310[/attach]
得：ＢＤ＝ＣA＝ＡＦ=FD
在△FBD中，ＢＤ=FD，∠B=∠BFD=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在FB≥0中只能取 FB=0，既 F、B两点也重合。
此时，若 DC＞0
[attach]66311[/attach]
同理得：在△ADC中，AD=AC，∠C=∠ADC=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在DC≥0中只能取 DC=0，既 D、C两点也重合。
得： △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
上面所有作图变化示意：

[attach]66566[/attach]

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 06:15
各位师长：正N边形，N趋于无穷大的情形，还用那么证么，，，

作者: 谢芝灵 时间: 2018-4-22 07:17
本帖最后由谢芝灵于 2018-4-21 23:35 编辑

elim
通篇胡扯，用此畜生不如之法还能证明里面是直角三角形外面也是的谬论呢。
================
里面是直角三角形能满足楼主的条件（外面为正三角形）吗？
我用到了所有条件：里面的正三角形的三边相等。==== 才得到矛盾后证明了两个三角形重合。
里面为直角三角形，就得不到n个边相等。
你神棍啊！

作者: 谢芝灵 时间: 2018-4-22 07:36
elim
我说你的胡扯在里面是直角三角形的条件下可"证“外面也是直角三角形。很是神棍啊。呵呵
================
里面是直角三角形能满足楼主的条件（外面为正三角形）吗？
我用到了所有条件：里面的正三角形的三边相等。==== 才得到矛盾后证明了两个三角形重合。
里面为直角三角形，就得不到n个边相等。
你神棍啊！

作者: elim 时间: 2018-4-22 07:51
楼主什么时候说外面是正三角形？白痴？

作者: elim 时间: 2018-4-22 08:48
反正谢芝灵胡扯不用付钱的，那就扯去吧·哈哈

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-22 11:36
本帖最后由风花飘飘于 2018-4-22 11:42 编辑

[attach]66339[/attach]

[attach]66340[/attach]

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 12:29
本帖最后由 wangyangke 于 2018-4-22 04:31 编辑

请教鲍鸽鸽：BDFG等腰，如何证？

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-22 13:45

wangyangke 发表于 2018-4-22 12:29
请教鲍鸽鸽：BDFG等腰，如何证？

把辅助线画一下，看不懂就去面壁去哈，，，呵呵

BD与FG是等线段，它们的4个端点共圆，问题转换为利用圆与弦的性质。
[attach]66342[/attach]

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 13:49
它们的4个端点共圆，如何证的？

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 13:55
鲍鸽鸽：本人愚昧，再请教了

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 14:28
鲍鸽鸽：本人愚昧，再请教了

“用她们中垂线的交点”，这话适于任意四点，那就是任意四点都共园了；任意四点都共园吗？因此，本人愚昧，再请教了

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 15:03
谢谢鲍鸽鸽了

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-22 15:05
[attach]66345[/attach]

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 15:13
谢谢鲍鸽鸽了

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-22 15:17
单开个帖子，收集一下证明有谁能？

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 15:19
我认为，鲍鸽鸽的证明，包含N边形，N趋于无穷大的情形，，，

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-22 15:29
尚九天曰：望羊客

咋谦虚了呢？
好好研究一下“单位1”吧，能拿大奖的，毕竟是世界难题嘛！

[attach]66348[/attach]

飘飘研究几何13年，对几何没兴趣了。
现在搞方程7年了，还是没彻底搞定5次方程的解法。

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 15:33
[attach]66350[/attach]

这么看，鲍飘飘的东东是国际水平哟，，，

作者: wangyangke 时间: 2018-4-22 19:08
我信鲍飘飘的东东是国际水平了；drc2000再来老师一点，问题来了：EA=EB,EC=ED;能说EA=EB=EC=ED吗？再请教鲍鸽鸽了

作者: wangyangke 时间: 2018-4-23 09:47
鲍飘飘，抽空修复一下你的共园证明吧，，，请了，，，

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-23 10:31
终于领教了什么是“笨羊”啊！
多么简单的一道题啊，非得让我写全了？

作者: wangyangke 时间: 2018-4-23 10:39
鲍鸽鸽，已经请了请了又请了，，，你看你怎么办，，，

作者: denglongshan 时间: 2018-4-23 22:08
除了楼主的反证法，就没有直接证明方法吗？向量商产生的高次方程如何求解？

作者: elim 时间: 2018-4-23 22:28
本帖最后由 elim 于 2018-4-23 07:29 编辑

denglongshan 发表于 2018-4-23 07:08
除了楼主的反证法，就没有直接证明方法吗？向量商产生的高次方程如何求解？

发现这个。懒得看： https://math.stackexchange.com/questions/186432/equilateral-triangle-inscribed-in-a-triangle

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-24 03:26
本本好像中毒了，只能手机上来看看。

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-24 04:44
实在是很简单的一道题，手机上图真费劲。

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-24 05:03

wangyangke 发表于 2018-4-23 10:39
鲍鸽鸽，已经请了请了又请了，，，你看你怎么办，，，

笨羊羊您好：
电脑被劫持了几天，重启后所作的都是空白，不知被保存到谁家去了，，，
好在还有手机照片，来了……
[attach]66398[/attach]
[attach]66397[/attach]

[attach]66399[/attach]

作者: wangyangke 时间: 2018-4-24 06:12
BG平行DF?

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-24 07:02
[attach]66411[/attach]
[attach]66410[/attach]

作者: wangyangkee 时间: 2018-4-24 09:57
鲍哥哥好！BG平行DF，怎么来的？

作者: 风花飘飘 时间: 2018-4-25 15:49
[attach]66454[/attach]

[attach]66455[/attach]

作者: denglongshan 时间: 2018-4-25 22:21

elim 发表于 2018-4-23 14:28
发现这个。懒得看： https://math.stackexchange.com/questions/186432/equilateral-triangle-inscribe ...

谢谢老师，是要花点功夫

作者: denglongshan 时间: 2018-4-25 22:21

elim 发表于 2018-4-23 14:28
发现这个。懒得看： https://math.stackexchange.com/questions/186432/equilateral-triangle-inscribe ...

谢谢老师，是要花点功夫

作者: wangyangke 时间: 2018-4-27 06:46
[attach]66560[/attach]

给飘飘了，，，

作者: Ysu2008 时间: 2018-4-27 16:34
找到另一个反证法，与楼主 ccmmjj 的解法略有差异。

《几何学辞典·问题解法》
[日]笹部貞市郎（编著）高清仁等（译）

[attach]66585[/attach]
[attach]66586[/attach]
[attach]66587[/attach]

作者: 谢芝灵 时间: 2018-4-27 17:08

Ysu2008 发表于 2018-4-27 08:34
找到另一个反证法，与楼主 ccmmjj 的解法略有差异。

《几何学辞典·问题解法》

http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

作者: denglongshan 时间: 2018-4-28 20:57
本帖最后由 denglongshan 于 2018-4-28 13:00 编辑

飘飘老师：
你对高次方程有研究，产生的六次方程如何求解？v是未知数。

作者: denglongshan 时间: 2018-4-28 21:04

denglongshan 发表于 2018-4-28 12:57
飘飘老师：
你对高次方程有研究，产生的六次方程如何求解？v是未知数。

按照结论，v=1+三次单位根。

作者: denglongshan 时间: 2018-4-28 21:13

软件的计算结果

作者: 风花飘飘 时间: 2018-5-2 09:22
开始就知道如何去证，过程中发现要绕来绕去，好在是畅通无阻的，只是织网一样的繁琐，跟解九连环似的，但是并不难！
具体比较明显的没有去写，写全了的话太费墨啦！

[attach]66733[/attach]

作者: 风花飘飘 时间: 2018-5-4 03:43
本帖最后由风花飘飘于 2018-5-4 03:49 编辑

换个思路，把证明直三角形全等的HL定理累死它，呵呵~~

[attach]66814[/attach]

作者: 风花飘飘 时间: 2018-5-4 06:53

elim 发表于 2018-4-23 22:28
发现这个。懒得看： https://math.stackexchange.com/questions/186432/equilateral-triangle-inscribe ...

我这样来证您可满意？
算不算高端大气上党翅领先国际？

作者: denglongshan 时间: 2018-5-4 08:13
本帖最后由 denglongshan 于 2018-5-4 04:51 编辑

楼主的题目是，如图，已知三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ，且三角形ＤＥＦ是正三角形，求证：三角形ＡＢＣ也是正三角形。
换一种思路，是否可以用同一法证明？做∠A'=60度，AF'=AF,Ｂ'Ｄ＝Ｃ'Ｅ＝Ａ'Ｆ,证明三角形A'B'C'是正三角形并且与△ABC重合？

同一原理、同一法
如果一个命题的已知条件与结论中所指的事物都是独一无二的事物那么原命题与逆命题的成立与否是完全一致的,这个原理叫同一原理.
如果一个命题符合同一原理,但证明原命题成立有困难,改正它的逆命题成立,再根据同一原理可知原命题成立,这样的证明方法叫做同一法.
同一法的证题步骤
1,验证命题是否符合同一原理的
2,作出符合命题结论的图形（或表达式）
3,证明所作图形（或表达式）符合已知条件
4,根据图形（或表达式）的唯一性,确定所作图形（或表达式）与已知图形（或表达式）相合
5,肯定原命题的真实性

上述介绍抄自百度作业帮。

作者: 风花飘飘 时间: 2018-5-6 08:50

denglongshan 发表于 2018-5-4 08:13
楼主的题目是，如图，已知三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ，且三角形ＤＥＦ是正三角形，求证：三角形ＡＢ ...

哈哈，您的意思我懂了，就是说，如果我喜欢她但是她不配合我，就采取“霸王硬上弓”的办法搞定！

作者: ataorj 时间: 2018-12-5 15:39
主题图片下
AE，BF，CD中若有两者相等，易证题目结论正确，所以我们否定三者互不相等时不合题意即可。
假设AE>BF>CD，有:
角AFE>BDF>CED
角A<B<C
角AEF<BFD<CDE

而角AEF+CED=120
BFD+AFE=120
这两个等式间明显有问题，因为:
AEF<BFD
CED<AFE
所以，AE，BF，CD三者只能相等。

作者: ataorj 时间: 2018-12-5 18:49
本帖最后由 ataorj 于 2018-12-5 19:09 编辑

[接上文]
[attach]72752[/attach]
三角形最大边越大,另两边不变时,最大边的对角也越大,最大边的两个邻角也越小

如图,比较△ABC和A'BC
AC>AB,AC>BC
A'B=AB,A'C>AC,DC=AC

∠A'BC=∠ABC+∠A'BA
∠A'BC>∠ABC

∠ACB=∠A'CB+∠A'CA
∠A'CB<∠ACB

怎么表明∠A'<∠A呢?
令BC'=BC,A'C'=AC[A'D'=CD=CA=A'C']
∠A=∠BA'C'=∠A'+∠CA'C'
可见∠A'<∠A

以上不属于证明,但显然正确
结合主题图片,△AEF,△BFD,△CDE各自中没有比AE,BF,CD更大的边,这时上面特性适合用于论证主题.

BF<AF时,可以知道△AEF,△BFD,△CDE各自中没有比BF,CD,AE更小的边,这时上面特性稍微改变描述仍可能适合用于论证主题[特性很不同,仍应该先尝试使用大边性质].

作者: denglongshan 时间: 2021-3-9 21:15

费尔马1 发表于 2018-4-21 17:42
这个题，您看看，作图如果先作三角形ABC，再作三角形DEF，易如反掌，但是，如果按题设的条件，先作三角形DE ...

先作三角形DEF,再作三角形ABC，很容易，反过来很难

作者: 王守恩 时间: 2021-3-14 18:04
本帖最后由王守恩于 2021-3-14 19:39 编辑

记\(FA=1\ \ \ FD=n=1, 2, 3,...\)
\(∠CAB=x\ \ ∠ABC=y\ \ ∠BCA=z\ \ \)
\( ∠AFD=a\ \ ∠BDE=b\ \ ∠CEF=c\)
由方程：\(x+a-b=y+b-c=z+c-a=\pi/3\ \ \ \frac{\sin x}{\sin a}=\frac{\sin y}{\sin b}=\frac{\sin z}{\sin c}=n\)
解得：\(x=y=z=\pi/3\ \ \ a=b=c=\arcsin(1/n)\ \ \ \)

作者: shuxueren 时间: 2021-4-19 21:11
[attach]95443[/attach]

作者: shuxueren 时间: 2021-4-19 21:11
[attach]95444[/attach]

作者: shuxueren 时间: 2021-4-19 21:12
[attach]95445[/attach]

作者: shuxueren 时间: 2021-4-19 21:12
[attach]95446[/attach]

作者: shuxueren 时间: 2021-4-19 21:12
[attach]95447[/attach]

作者: kanyikan 时间: 2021-4-20 00:28
楼主的题，不是网上的日经题吗？今天给挖出来一点也不意外啊

作者: 王守恩 时间: 2021-6-17 05:04
本帖最后由王守恩于 2021-6-19 05:07 编辑

已知: \(AF=BD=CE=k\ \ \ DE=EF=FD=n\)

记: \(∠AEF=a\ \ \ \ \ \ ∠BFD=b\ \ \ \ \ \ ∠CDE=c\)

\(由下解得a=b=c\ \ \ \ \ \ \ AE=BF=CD\)

\(\displaystyle\frac{k}{\sin(a)}=\frac{AE}{\sin(120^\circ-b)}=\frac{n}{\sin(60^\circ+b-a)}\)

\(\displaystyle\frac{k}{\sin(b)}=\frac{BF}{\sin(120^\circ-c)}=\frac{n}{\sin(60^\circ+c-b)}\)

\(\displaystyle\frac{k}{\sin(c)}=\frac{CD}{\sin(120^\circ-a)}=\frac{n}{\sin(60^\circ+a-c)}\)

作者: 王守恩 时间: 2021-6-19 05:11
本帖最后由王守恩于 2021-6-19 05:14 编辑

王守恩发表于 2021-6-17 05:04
已知: \(AF=BD=CE=k\ \ \ DE=EF=FD=n\)

记: \(∠AEF=a\ \ \ \ \ \ ∠BFD=b\ \ \ \ \ \ ∠CDE=c\)

已知: \(AF=BD=CE=k\ \ \ \ DE=EF=FD=n\)

记: \(∠AEF=a\ \ \ \ \ \ ∠BFD=b\ \ \ \ \ \ ∠CDE=c\)

\(由下(k,n是具体的数)解得a=b=c\ \ \ \ AE=BF=CD\)

\(\displaystyle\frac{k}{\sin(a)}=\frac{AE}{\sin(120^\circ-b)}=\frac{n}{\sin(60^\circ+b-a)}\)

\(\displaystyle\frac{k}{\sin(b)}=\frac{BF}{\sin(120^\circ-c)}=\frac{n}{\sin(60^\circ+c-b)}\)

\(\displaystyle\frac{k}{\sin(c)}=\frac{CD}{\sin(120^\circ-a)}=\frac{n}{\sin(60^\circ+a-c)}\)

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