非标准分析的基本想法

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/06 00:19pm 第 2 次编辑]

    在非标准分析中，我们引入一个无穷单位元（Infinity Unit）Ω ，它满足以下两条：

（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质，可以像一个正整数那样
与其他的数比较大小，可以像一个正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则。
（2）Ω 大于任何实数。

    实数系 R 中引入 Ω 后，就可以扩张为超实数系 R* 。非标准分析的创始人、逻辑学家
Robinson（罗宾逊）用数理逻辑严格地证明了：这样的扩张，不会产生任何矛盾。
    人们可能会问：既然 Ω 具有正整数的一切性质，那么它是不是也有奇偶性呢？它是奇数
还是偶数？它是不是也能作唯一的素因子分解？它是素数还是合数？
    我们可以采取这样的办法：把 Ω 看作一个用字母符号表示的很大的正整数，就像我们在
标准数学的推理证明计算中，所设的一个用字母符号表示的正整数 n∈N 那样。
    对于这样的 n ，首先，我们可以肯定它具有正整数的一切性质，包括奇偶性、素因子分解
唯一性等等。至于它是奇数还是偶数，是素数还是合数，这些具体的性质，我们可以另外赋予它。
    比如说，在我们的推理证明计算中，觉得 n 是偶数比较方便，我们就可以设 n 是一个偶数，
如果我们觉得再设 n 是 3 的倍数更方便一些，我们还可以进一步设 n 是 3 的倍数，等等 。各
种具体的性质，可以根据推理证明计算的需要，逐步添加上去，当然，在同一个推理证明计算中，
这些添加上去的性质，不能自相矛盾。
    对于 Ω 也是这样，首先，我们可以肯定它具有正整数的一切性质，包括奇偶性、素因子分解
唯一性等等。至于它是奇数还是偶数，是素数还是合数，这些具体的性质，我们可以另外赋予它。
    比如说，在我们的推理证明计算中，觉得 Ω 是偶数比较方便，我们就可以设 Ω 是一个偶数，
如果我们觉得再设 Ω 是 3 的倍数更方便一些，我们还可以进一步设 Ω 是 3 的倍数，等等 。各
种具体的性质，可以根据推理证明计算的需要，逐步添加上去，当然，在同一个推理证明计算中，
这些添加上去的性质，不能自相矛盾。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2010/10/06 01:19pm 第 2 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2010/10/06 00:16pm 发表的内容：
   比如说，在我们的推理证明计算中，觉得 Ω 是偶数比较方便，我们就可以设 Ω 是一个偶数，
   如果我们觉得再设 Ω 是 3 的倍数更方便一些，我们还可以进一步设 Ω 是 3 的倍数，等等 。各种具体的性质，可以根据推理证明计算的需要，逐步添加上去，当然，在同一个推理证明计算中，
   这些添加上去的性质，不能自相矛盾。

[color=#0000FF]可以任意添加不自相矛盾"性质"?似乎不妥.
      一.对于一个命题T的推理证明与计算,与判断您添加的两性质A,B是否"自相矛盾".
   这两者的难度倘属未知.后者未必就一定简单.
      二.对于一个命题T的推理证明与计算,,与您添加的两性质A,B是否"自相矛盾".
   这两者之间是否存在联系?会不会存在着循环论证?
   换言之,可能存在以下情形:判断"A,B是否自相矛盾"却一定要用到命题T,
      三.判断"A,B是否自相矛盾",也许根本就是证明不出来的.

ygq的马甲

看样子，陆教授对这个 Ω 是念念不忘。那么，这个 Ω ，究竟是什么 ？？？
1、从使用范围来说，是【极限】理论的范围，即 R(·,·)="﹁∈" 类型
2、从应用规则来说，是“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑的，即 R(·,·)="∈" 类型
那么，已经清楚了，是 R(·,·)="﹁∈" 按级数【展开】式的《模式》写成多项之和方式的 R(·,·)="∈"
举例来说，无理数，按级数【展开】式的《模式》写成多项之和的 有理数

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“新”分类，“新”文化，“新”未来。（公理化的中国道学） 。
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附图：二维几何模型表示的逻辑类型

.
【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪"﹁∈"∪"Φ"
.
按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)="Φ" 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)="﹁∈" 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。
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[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

其后果是，导致一些改变，例如传统实数之中，0 与正实数之间没有任何东西，而非标准分析里，0 与正实数之间【有】任何东西

elimqiu

其实经典正整数的性质都是从‘前驱’‘后继’关系递归而来的。因为Ω不能递归地与任何有限整数发生这种关系，所以除了一般的实数的运算性质Ω不会有整数的任何性质。
拿奇偶性来说，说Ω奇或偶（当然只能取其一）不会招致什么矛盾。但这么一来正好说明Ω的奇偶性是不可判定的。不是它的内在性质。

ygq的马甲

拿奇偶性来说，说Ω奇或偶（当然只能取其一）不会招致什么矛盾。但这么一来正好说明Ω的奇偶性是不可判定的。不是它的内在性质。

R(·,·)="﹁∈" 类型所需要的，否则会导致不“相容ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ”的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/06 02:45pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/06 06:36am 发表的内容：
其实经典正整数的性质都是从‘前驱’‘后继’关系递归而来的。因为Ω不能递归地与任何有限整数发生这种关系，所以除了一般的实数的运算性质Ω不会有整数的任何性质。
拿奇偶性来说，说Ω奇或偶（当然只能取其一　...

    Ω 是我们定义出来的一个数，Ω 是奇数还是偶数，不需要证明，我们只要定义
就可以了，我们定义它是奇数它就是奇数，我们定义它是偶数它就是偶数。
   这就像我们平时推导证明中，所设的一个 “n∈N”一样。如果有人问：你怎样
证明你设的这个“n”是奇数还是偶数？你一定会回答：这不需要证明，我设它是
奇数它就是奇数，我设它是偶数它就是偶数。

elimqiu

Ω的所有整数的性质都是定义出来的而不是由量/序关系导出的。所以其整数性质没有整数论的价值。 例如哥猜跟这种数没有关系。
当我们说 n ∈ N 时， 我们对 n 的了解不会超出 N 的元素的共性。 换句话说， n 是 N 的元的一个代表。 Ω 在什么意义下具有整数的代表性是一个问题。
其实Ω任何定义出来的性质一点也不会影响到代数数论。因为那里面不考虑这样的数。
反过来，在一个包含Ω的数系里，数论会有什么结论是标准数系里得不到的，需要用到Ω的？目前也不清楚。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/07 00:36am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/06 03:49pm 发表的内容：
Ω的所有整数的性质都是定义出来的而不是由量/序关系导出的。所以其整数性质没有整数论的价值。 例如哥猜跟这种数没有关系。
当我们说 n ∈ N 时， 我们对 n 的了解不会超出 N 的元素的共性。 换句话说， n 是 N ...

楼上说得很对。非标准分析可以说与数论一点关系也没有，不可能用来解决任何数论中的难题。
非标准分析的用处，主要是在微积分中。非标准分析把无穷大量和无穷小量作为数来处理，
避免使用标准分析中令初学微积分的学生普遍感到害怕、感到难以掌握的 ε-N ，ε-δ 语言，
使得微积分中的推理证明变得更直观、更形象、更简单、更容易处理。  同时也要看到：
虽然非标准分析与标准分析的观点不同，但是，传统微积分中的各种定理、公式、计算结果，
在非标准分析和标准分析中是完全相同的，非标准分析不会得出与标准分析不同的新异的结论。