关于卷积导数理解的一个问题？？

qingjiao

这是陆教授以前的一个帖子。见橙色椭圆部分，是否可以理解为f(x)与g(x)的导数的卷积，即f(x)*g`(x)？？

qingjiao

这个论坛的图片显示也是扁的，而且点击图片弹出一个框，而不是一个单独网页。该图片框好像用鼠标很难控制，还会不断移动。这是什么问题？怎样调整？

qingjiao

qingjiao 发表于 2016-3-26 22:51
这个论坛的图片显示也是扁的，而且点击图片弹出一个框，而不是一个单独网页。该图片框好像用鼠标很难控制， ...

发一个跟帖后图片显示就正常了，真奇怪。

luyuanhong

可以理解为 f(x) 与 g＇(x) 的卷积。 下面是我过去在《数学中国》发表过的帖子：

qingjiao

陆教授，我发现您的公式当存在某些特殊函数时可能不成立。例如：

设f(x)=e^x，g(x)=u(x)为单位阶跃函数，于是g`(x)=δ(x)为单位冲击函数。

f(x)*g(x)=e^x-1，[f(x)*g(x)]`=e^x;

f(x)g(0)+f(x)*g`(x)=e^x+e^x，显然左右并不相等。

而且即使认为g(0)=(g(0-)+g(0+))/2=(0+1)/2=0.5，等式仍不成立。换言之，即使我们能用某种初等函数模拟阶跃函数，使之连续光滑甚至有无穷多阶的导数，由于该初等函数在0点的值一定是0前和0后的中值，因此也不能使等式成立。

除非我们将您的公式中g(0)理解为g(0-)，由于g(0-)=0，这样等式才成立。

请问陆教授：是我的计算错了，或者理解错了，还是存在u(x)等特殊函数时，有其他形式的公式？？

luyuanhong

qingjiao

首先感谢陆教授详细耐心的解答！

不过，我觉得这个问题并不一定要用非标准分析才能理解。事实上，当我们用某些初等函数来模拟冲击函数δ(x)时，这个波形一定是关于y轴对称的，由此(0,+∞)必然只有1/2的积分面积，所以卷积f(x)*g`(x)=e^x*δ(x)/2=0.5e^x。而初等函数模拟的阶跃函数u(x)必有u(0)=1/2，故f(x)g(0)+f(x)*g`(x)=0.5e^x+0.5e^x=e^x。这样就完全对上了。

陆教授认为以上理解是否正确？

luyuanhong

首先，对于普通的初等函数来说，公式肯定是成立的，这是没有疑问的。

你在第 5 楼中的疑问是：对 δ(x) 这样的不属于初等函数的广义函数，公式是否也成立？

如果你用初等函数来模拟 δ(x) ，因为模拟的函数已经是普通的初等函数了，公式当然成立。

非标准分析的好处是，用含有无穷大量的函数来表达 δ(x) ，δ(x)  还是真正的广义函数，

没有变成普通的初等函数，但另一方面，用无穷大量表达的 δ(x) 又可以像普通的初等函数

一样来处理，得到与普通的初等函数一样的处理结果。

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