我对数学的研究----之勾股数的分类，规律与费尔马大定理

柳条帽安全

我对数学的研究----之勾股数的分类，规律与费尔马大定理
                   勾股数组的获得与分类

我们知道方程式x的平方+y的平方=z的平方. 用丢番图的公式去解可以得到很多勾股数组，但不是全部。多年前我就发现了全新的公式，可以求得全部的勾股数组。最近闲来无事将全部勾股数组进行分类。为了通俗易懂，在此我全部用初等数学方式表达。
方程式x的平方+y的平方=z的平方我们用数字形式表示为：
x^2+y^2=z^2。设x< y.现在我们将x^2+y^2=z^2形体化，那我们就看到了3个正方形，先研究正方形的形成。我们把四边相等。四角为直角的形状叫正方形，边长为1的是1个平方，如果我们用边长为1的正方形逐步拼成边长为n的正方形时过程是这样的，1*2-1+2*2-1+3*2-1+4*2-1…………+2*n-1.也就是1+3+5+7+9+2*n-1.
现在我们得到第一个规律，任何一个大正方形都比前一正方形n^2多2*n+1。
这是自然规律，不会变化。我们只有利用这些规律使得x^2+y^2=z^2成立。为了以后的研究开展更深入，我们只求xyz为无素的勾股数组。
根据这些规律可以发现当n为奇数时（除了1）这个正方形都可以使得另外一个特定的正方形扩大为另一个正方形而使得X^2+y^2=z^2成立。我把它分为第1类具体例子为；
3        +        4        =        5
5        +        12        =        13
7        +        24        =        25
9        +        40        =        41
11        +        60        =        61
13        +        84        =        85
15        +        112        =        113
17        +        144        =        145
19        +        180        =        181
21        +        220        =        221
23        +        264        =        265
25        +        312        =        313
27        +        364        =        365
29        +        420        =        421
31        +        480        =        481
33        +        544        =        545
35        +        612        =        613
37        +        684        =        685
39        +        760        =        761
41        +        840        =        841
在这里我们会看到这样现象,一，Z都是奇数，那有没有Z为偶数的勾股数组（无素），我们以下再证明。答案是没有。二，Z-Y=1，都是勾股数组（无素）。那有没有Z-Y>1的勾股数组（无素）呢？当n为偶数时有没有勾股数组（无素）的呢？有，但不是全是无素的。那怎么才能找到其它通用公式呢？
我们在回到x^2+y^2=z^2。将x^2+y^2=z^2形体化，仍然看到了3个正方形。我们经常会在房间里铺地毯，现在把x^2和y^2看作两快地毯，把z^2看作房间。
我们能得到一个定理：已知两快地毯的面积和房间面积相等，将两快地毯铺在房间的结果是：空缺面积等于重叠面积。我把它称为地毯定理！
根据这个定理，将xy对角铺在z内，在中间就有重叠。重叠面积为（x+y）-z
另外两个对角有两个相同的空缺。面积为（z-x）*(z-y).。
变等式为2*（z-x）*(z-y)= （（x+y）-z）^2。如果现在把这个等式进行运算，那我们又回到了原点。所以要对其进行分析，如果z是奇数，xy中必然有一个是奇数，另一个是偶数。如果z是偶数，那xy必然都是奇数。（当然也可以都是偶数。那xyz就都有数因子2，不是研究的对象）这样我们就知道（（x+y）-z）^2肯定是个偶数，把它计作（2m）^2。将（z-y）计作a，将(z-x)计作b，获得等式（2m）^2=2ab。等式成立，x^2+y^2=z^2有解，反之则无解。
现在检验是否能求勾股数组。如果如果z是偶数， xy都是奇数时，则空缺面积为2个相同的奇数。重叠面积是（2m）^2，是个正方形。因为2个相同的奇数和的开平方不是正整数，所以当z是偶数时没有整数解。也就是说当z是偶数时无法求得勾股数组。
如果z是奇数，xy中有一个是奇数，另一个是偶数。则空缺面积为2个相同的偶数，等式可以成立。在图形上获得勾股数组为：x=2m+a   ,y=2m+b    z=2m+a+b


经过简化（2m）^2=2ab得2m^2=ab。这是一个突破性发展，打破了几百年来求勾股数组的框框。
现在开始求勾股数组：
将ab分解为1*2m^2时，
当m为1时    2m^2=2       分解为1*2     x=3       y=4        z=5
当m为2时    2m^2=8       分解为1*8     x=5       y=12       z=13
当m为3时    2m^2=18      分解为1*18    x=7       y=24       z=25
当m为4时    2m^2=32      分解为1*32    x=9       y=40       z=41
当m为5时    2m^2=50      分解为1*50    x=11      y=60      z=61
当m为6时    2m^2=72      分解为1*72    x=13      y=84      z=85
当m为7时    2m^2=98      分解为1*98    x=15      y=112     z=113
当m为8时    2m^2=128     分解为1*128   x=17      y=144     z=145
当m为9时    2m^2=162     分解为1*162   x=19      y=180     z=181
当m为10时    2m^2=200    分解为1*200   x=21      y=220     z=221
当m为11时    2m^2=242    分解为1*242   x=23      y=264     z=265
这正是当n为奇数时（除了1）这个正方形都可以使得另外一个特定的正方形扩大为另一个正方形而使得X^2+y^2=z^2成立。得到的第1类勾股数组。
将ab分解为2* m^2时，当n=偶数时xyz就都有数因子2。可以简化，不计入。当n为奇数时：
当m为1时    2m^2=2       分解为2*1     x=4       y=3         z=5
当m为3时    2m^2=18       分解为2*9     x=8       y=15       z=17
当m为5时    2m^2=50      分解为2*25    x=12       y=35       z=37
当m为7时    2m^2=98      分解为2*49    x=16       y=63       z=65
当m为9时    2m^2=162      分解为2*81    x=20      y=99       z=101
当m为11时    2m^2=242      分解为2*121    x=24    y=143      z=145
这是我得到的第2类勾股数组。
但这还不是全部的勾股数组。只有当n为多因子数时将2* m^2充分分解，只要保证ab为无素，就可以获得全部的基本勾股数组。多因子数不是复合数，如4=2*2，他还是单因数。6，10，14，15。。。。。。为多因子数。
如当m为6时；2m^2=72         分解为8*9     x=20    y=21   z=29
如当m为10时；2m^2=200       分解为8*25    x=28    y=45   z=53
如当m为14时；2m^2=392       分解为8*49    x=36    y=77   z=85
如当m为15时；2m^2=450       分解为18*25   x=48    y=55   z=73
                           也可以分解为9*50    x=39    y=80   z=89
我把这些勾股数组归为第3类。
这3类勾股数组包含了所有的两个正方形的面积和等于另一个正方形的面积的解。
这3类勾股数组各自的特点规律大家可以找找，当xyz为立方或多次方时会怎么样呢？
与费尔马大定理的关系和证明我下次再谈。
附本人简介：崇拜的名言：道生一，一生二，二生三，三生万物，万物归元，周而复始。
           坚定相信还有很多基本的科学基础理论未被发现。年轻时由于环境因素只能把对数学的爱好用来消磨时间，在37岁那年自认为证明了费尔马大定理，和哥德巴赫猜想。是不是太狂妄？。。。以后就不再关注数学了，也一直公布我的证明。最近闲来无事，想想还是公布出来。与大家共享。下次再谈勾股数的规律和费尔马大定理。

柳条帽安全

以上所讲的勾股数组都指的是无素勾股数组。

柳条帽安全

以上我用地毯定理获得了等式（2m）^2=2ab，勾股数的关系是x=2m+a   ,y=2m+b    z=2m+a+b。并证明了z必定是个奇数。用我新勾股数通项方程式可以求得全部的勾股数组，并把它们分成3类，它们特点是：
第一类 ：一，奇数<偶数；  二，z-y=1
第二类 ：一，偶数<奇数；  二，z-y=2
第三类 ：一，奇偶无一定；二，z-y>8 （x<y）
有人问将勾股数组分类有什么意义？当然是为了证明费马尔大定理是否成立。现在关注费马尔大定理的人少了，但28年前呢？这些可是28年前的东西了。根据以上所叙已经可以用简单的方法，容易地证明x^4+y^4=z^4没有整数解。大家可以试试。

柳条帽安全

看了几个关于勾股数的帖子，都认为自己的是最好。当然我也认为我的是最好的。
（2m）^2=2ab,   x=2m+a   ,y=2m+b    z=2m+a+b;
进化为x=(a+b)^2-b^2,
         y=(a+b)*2b,
         z=(a+b)^2+b^2,
当a,b为任意数时获得全部勾股数组，当a为奇数，a,b互素时获得互素勾股数组。通俗，简单，易懂，便于计算。本来想在此发表我对费马尔大定理，和哥德巴赫猜想的证明。但好像关心的人不多，所以也罢了，但我也相信我这一求勾股数方法会进入以后的课堂。

朱明君

朱明君

柳条帽安全

朱明君 发表于 2016-5-11 17:34

20^2+21^2=29^2如何表达？

朱明君

柳条帽安全 发表于 2016-5-11 11:17
20^2+21^2=29^2如何表达？

还没有找到偶数定a直解法

柳条帽安全

那你看看我的怎么样？通俗，简单，易懂，便于计算。

朱明君

柳条帽安全 发表于 2016-5-12 00:49
那你看看我的怎么样？通俗，简单，易懂，便于计算。

X=14      Y=?      Z=?