S1,S2,…,Sn 为 n 个相异正整数，(1-1/S1)(1-1/S2)…(1-1/Sn)=104/2015 ，求 n 最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

王守恩 发表于 2017-9-4 21:28
我来举个例子。
1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×12/13×
13/14×14/15×1 ...

我来举个例子。
1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×12/13×
13/14×14/15×15/16×16/17×17/18×18/19×64/65×247/248=104/2015

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 *12/13 * 24/25 * 26/27 *30/31

8个


由于2015分解质因数： 5*13*31， 104分解质因数：2^3 * 13
就要从与此相关的数来考虑。   31和13较大，先假设这里 有12/13 和 30/31，分子上将会有5，把分母的5改为25（24只涉及3和2两个素数因子）， 分子上需要13， 考虑26/27 比较合适27只含有素数因子3 。
这样，分子分母上需要解决的只有2和3两个素数因素了。
由于1/2 , 2/3  3/4 等是较易于消2、消3的手段，所以尽量使多余的因子为2为3


错了，要求各数相异。

再想想

天元酱菜院

1/2  *2/3 * 3/4  *4/5 * 5/6* 6/7 *7/8 *8/9 *9/10 * 10/11 *11/12 *12/13 *13/14*14/15 *
24/25* 25/26 *26/27 *27/28 *28/29 *29*/30 *30/31

= 1/15 * 24/31 *13/13   = 1/5* 8/31 *13/13 =104 / 2015

N = 21


嗯，比王守恩多一个。

王守恩

天元酱菜院 发表于 2017-9-5 18:35
1/2  *2/3 * 3/4  *4/5 * 5/6* 6/7 *7/8 *8/9 *9/10 * 10/11 *11/12 *12/13 *13/14*14/15 *
24/25* 25/2 ...

我来举几个例子。
1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×12/13×
13/14×14/15×15/16×16/17×17/18×18/19×64/65×247/248=104/2015

1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×8/9×9/10×10/11×11/12×12/13×
13/14×14/15×15/16×16/17×17/18×18/19×19/20×28/29×29/30×30/31=104/2015

1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×12/13×
13/14×14/15×16/17×17/18×18/19×19/20×60/61×61/62=104/2015

错了，要求各数相异。(错的我已删除)）
谢谢天元酱菜院的提醒 。
  
再想想！还有更少的吗？还有！
  

王守恩

题目：  S1,S2,…,Sn 为 n 个相异正整数，
(1-1/S1)(1-1/S2)…(1-1/Sn)=104/2015 ，求 n 最小值
符合题意的解有2个
n=19   1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×
12/13×13/14×14/15×15/16×16/17×17/18×24/25×30/31=104/2015
n=19   1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×
12/13×13/14×14/15×16/17×17/18×18/19×19/20×30/31=104/2015
陆老师！这是一道很好玩的题目，能透露一点题目的背景资料吗？
只要是真分数，都可以按此法展开。我好像找到通解的感觉了。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

                题目：S1,S2,…,Sn 为 n 个相异正整数，
     且满足(1-1/S1)(1-1/S2)…(1-1/Sn)=任意真分数 ，求 n 最小值
1，任意真分数均可化简成最简真分数。
2，任意最简真分数均可写成K1/K2×K3/K4×K5/K6......K(2n-1)/K(2n)的形式
     我们约定：K1＜K2＜K3＜K4＜K5＜K6＜......＜K(2n-1)＜K(2n)
3，任意最简真分数的拆分方法n
     n=K2+K4+K6+......+K(2n) - [K1+K3+K5+......+K(2n-1)]
4，对任意一个最简真分数来说，
     n肯定不止一个，但可以肯定其中必有一个或相同几个是最小的。
5，为求得n是最小值，
     则应该K2+K4+K6+......+K(2n)尽可能小，
     或 K1+K3+K5+......+K(2n-1)尽可能大。
6，我们注意到：
     n=(K2-K1)+(K4-K3)+(K6-K5)+......+[K(2n)-K(2n-1)]
     每个()里的得数都是自然数，为使n的值尽可能小，
     则每个()的得数要尽可能小，或者说，每个()里的2个数要尽可能的接近。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。