用M—操作的方法求平面图的色数

雷明85639720

用M—操作的方法求平面图的色数
雷  明
（二○一六四月十日）

M—操作是米歇尔斯基操作的简称。即在有v个顶点的图G外，增加G一个顶点为u＋1的u—星（注意：u—星中有u＋1个顶点），然后再把u—星中的每一个ui顶点都与其对应的G中的vi顶点的相邻顶点用边连接起来，但ui与vi并不连接。这时得到的图的密度（最大团的顶点数）不变，但其色数却比原图的色数多1，如图1到图6。

平面图的密度一定是小于等于4的，我们可以分别对色数与其顶点数相等的密度从1到4的完全图进行M—操作，得图1到图4。只有密度是4的图变成了非平面图，不属于四色问题研究的对象了，所以密度是4的K4图是不能进行M—操作的，其色数也是不会大于4的。而密度是1的K1图进行M—操作后，得到的图虽仍是平面图，但不连通，色数也变成了2，但其密度却发生了变化，不符合M—操作的要求。只有密度是2和3的K2和K3图进行M—操作后既仍是密度未变的连通平面图，其色数的又比原来的图G增大了1，分别由2和3变成了3和4，但都是不大于4 的。由于M—操作又是可以连续进行的，所以现在还要问，密度是2和3的图是否还能进行第二次M—操作呢。回答是不能。
若对图2再进行一次M—操作则得到图5，是一个非平面图。而图3中既有3—圈，也有4—圈，当然3—圈再进行M—操作时仍然还是平面图，但对4—圈进行M—操作时，却得到的是图6的非平面图。由此可以看出，密度是2和3的K2和K3图只能进行一次M—操作，其色数最大也只能分别是3和4，比其顶点数只能大1。
任何平面图中都包含着以上的完全图作其分子图，从以上对完全图的M—操作可以看出，任何平面图的色数都是不会大于4确的，这也就证明了四色猜测确的。

雷  明
二○一六年四月十日于长安

注：此文已于二○一六年四月十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

   

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