一道小学分数填空题的探索（一）

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一道小学分数填空题的探索（一）
                                                                              
赵 志 刚
   
这是一道复杂的分数填空题：
     把1～10这十个自然数填在下题的十个括号里，每个数只能用一次，使等式成立。
      
    如果不了解此题的类型，盲目去填是很难成功的。当然，弄清题意，明白算理后，此题也是很好解决的。
确切地说：本题有132种填法。让我们做如下的探索：
为了便于以下的研究本文将分成两部分。

第一部分：最简分数的分子与分母之和是5的探索

从本题不难看出：这十个自然数，三个相加，三个相加；两个相加，两个相加组成的两个分数是相等的。
我们先计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
∵55=5×11；是5和11的最小公倍数。
∴本题里最简分数的分子、分母之和可以是5。
∴本题里最简分数可能是，，。
∵，1+2+3+4+5>11。
∴本题的最简分数不是。

假设分数是。
∵
∴本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是18与27；两个数之和分别是4与6。
即：⑴；
此等式的填法只有1种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是：16与24；两个数之和分别是6与9。
即：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸。
此等式的填法只有5种。

本题的等式可以是：
   就是说：三个数之和分别是14与21；两个数之和分别是8与12。
即：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；
⑺；⑻；⑼；
⑽；⑾。
此等式的填法只有11种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是12与18；两个数之和分别是10与15。
即：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；
⑺；⑻；⑼；
⑽；⑾；⑿。
此等式的填法只有12种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是10与15；两个数之和分别是12与18。
即：⑴；⑵；⑶
∵18是1～10中两个数之和组成的最大的合数。
∴分数是且符合题意的填法有以上的32种。

同理，假设分数是，
∵，
∴本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是27与18；两个数之和分别是6与4。
即：⑴
此等式的填法只有1种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是24与16；两个数之和分别是9与6。
即：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸
此等式的填法只有5种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是21与14；两个数之和分别是12与8。
即：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；
⑺；⑻；⑼；
⑽；⑾。
此等式的填法只有11种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是18与12；两个数之和分别是15与10。
即：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；
⑺；⑻；⑼；
⑽；⑾；⑿。
此等式的填法只有12种。

本题的等式可以是：
就是说：三个数之和分别是15与10；两个数之和分别是18与12。
即：⑴；⑵；⑶。
∵18是1～10中两个数之和组成的最大的合数。
∴分数是且符合题意的填法也有以上的32种。

至此第一部分结束，本部分中，最简分数的分子与分母之和是5的有；它们符合题意的填法各有32种，共有64种。若知下文如何，敬请关注第二部分：最简分数的分子与分母之和是11的探索。