将 8 位学生编入 A,B,C,D 四班，每班人数不超过 4 位，共有几种不同做法？

luyuanhong · 发表于 2016-5-5 07:16

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

學校以每班轉入的學生不超過4位的原則

將8 位轉組的學生編入 A,B,C,D 四班則有多少種

重生888 · 发表于 2016-5-5 07:25

是不是需要一一列出？

重生888 · 发表于 2016-5-5 07:35

一个班安4个，有6种：AB AC AD BC BD CD

luyuanhong · 发表于 2016-5-5 19:09

重生888 · 发表于 2016-5-6 17:35

本帖最后由重生888 于 2016-5-6 09:44 编辑

陆教授好！你对楼主出题理解是否有差异？我认为出题者是说每班插入的学生数不应超过四人。我将其一一列出（可能有遗漏）如下：

      分    班

A    B    C    D

4    4    0    0
4    0    4    0
4    0    0    4
0    4    4    0
0    4    0    4
0    0    4    4                   =6

3    4    1    0
3    4    0    1
3    3    2    0
3    3    0    2
3    2    2    1
3    2    1    2
3    1    3    1
3    1    1    3
3    0    3    2
3    0    2    3                   =10

2    4    1    1
2    4    2    0
2    4    0    2
2    3    2    1
2    3    1    2
2    3    0    3
2    3    3    0
2    2    3    1
2    2    1    3
2    2    0    4
2    2    4    0
2    2    2    2                =12

1    4    3    0
1    4    2    1
1    4    1    2
1    4    0    3
1    3    3    1
1    3    2    2
1    3    1    3
1    3    4    0
1    3    0    4                =9

0    2    4    2
0    2    2    4
0    2    3    3
0    1    4    3
0    1    3    4             =5

3    0    4    1
3    1    4    0
3    0    3    2
3    2    3    0
3    0    2    3
3    1    0    4
3    0    1    4             =7

2    1    4    1
2    0    4    2
2    1    3    2             =3

1    1    4    2
1    2    4    1
1    0    4    3
1    2    3    2             =4

合计                               59种

luyuanhong · 发表于 2016-5-6 19:03

本帖最后由 luyuanhong 于 2016-5-6 19:11 编辑

楼上列举的答案有遗漏。

下面是用电脑统计的结果，与我在第 4 楼中题 1 的答案是完全一样的：

      A  B  C  D
( 1 )  0  0  4  4
( 2 )  0  1  3  4
( 3 )  0  1  4  3
( 4 )  0  2  2  4
( 5 )  0  2  3  3
( 6 )  0  2  4  2
( 7 )  0  3  1  4
( 8 )  0  3  2  3
( 9 )  0  3  3  2
(10)  0  3  4  1
(11)  0  4  0  4
(12)  0  4  1  3
(13)  0  4  2  2
(14)  0  4  3  1
(15)  0  4  4  0
(16)  1  0  3  4
(17)  1  0  4  3
(18)  1  1  2  4
(19)  1  1  3  3
(20)  1  1  4  2
(21)  1  2  1  4
(22)  1  2  2  3
(23)  1  2  3  2
(24)  1  2  4  1
(25)  1  3  0  4
(26)  1  3  1  3
(27)  1  3  2  2
(28)  1  3  3  1
(29)  1  3  4  0
(30)  1  4  0  3
(31)  1  4  1  2
(32)  1  4  2  1
(33)  1  4  3  0
(34)  2  0  2  4
(35)  2  0  3  3
(36)  2  0  4  2
(37)  2  1  1  4
(38)  2  1  2  3
(39)  2  1  3  2
(40)  2  1  4  1
(41)  2  2  0  4
(42)  2  2  1  3
(43)  2  2  2  2
(44)  2  2  3  1
(45)  2  2  4  0
(46)  2  3  0  3
(47)  2  3  1  2
(48)  2  3  2  1
(49)  2  3  3  0
(50)  2  4  0  2
(51)  2  4  1  1
(52)  2  4  2  0
(53)  3  0  1  4
(54)  3  0  2  3
(55)  3  0  3  2
(56)  3  0  4  1
(57)  3  1  0  4
(58)  3  1  1  3
(59)  3  1  2  2
(60)  3  1  3  1
(61)  3  1  4  0
(62)  3  2  0  3
(63)  3  2  1  2
(64)  3  2  2  1
(65)  3  2  3  0
(66)  3  3  0  2
(67)  3  3  1  1
(68)  3  3  2  0
(69)  3  4  0  1
(70)  3  4  1  0
(71)  4  0  0  4
(72)  4  0  1  3
(73)  4  0  2  2
(74)  4  0  3  1
(75)  4  0  4  0
(76)  4  1  0  3
(77)  4  1  1  2
(78)  4  1  2  1
(79)  4  1  3  0
(80)  4  2  0  2
(81)  4  2  1  1
(82)  4  2  2  0
(83)  4  3  0  1
(84)  4  3  1  0
(85)  4  4  0  0

重生888 · 发表于 2016-5-7 04:51

谢谢陆教授！感谢您从各方面关心和帮助网友！

白新岭 · 发表于 2016-5-12 11:57

对于8位同学分配到4个班，最多不能超4人
我们可以用数学关系建立模型
（A+B）+（C+D）=8
然后另（A+B）=0--8，相应C+D=8--0
加入限制条件获得不定方程的解数，也就是分配方案数
有乘法原理获得最终结果。
A+B和值方法数 C+D和值方法数总方法
0 1 8 1 1
1 2 7 2 4
2 3 6 3 9
3 4 5 4 16
4 5 4 5 25
5 4 3 4 16
6 3 2 3 9
7 2 1 2 4
8 1 0 1 1
85
用这种模型可以非常明了直观，它安规律排列而后形成结果

luyuanhong · 发表于 2016-5-12 12:23

谢谢楼上白新岭的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

白新岭 · 发表于 2016-5-12 12:52

如果增加难度，31位同学分配到4个班，最多不能超16人（第二种限制是不超15人）
解法与上贴一样，可以另（A+B）=0--31，相应C+D=31--0
先算不超16人的，再算不超15人的
A+B和值方法数 C+D和值方法数总方法
0 1 31 2 2
1 2 30 3 6
2 3 29 4 12
3 4 28 5 20
4 5 27 6 30
5 6 26 7 42
6 7 25 8 56
7 8 24 9 72
8 9 23 10 90
9 10 22 11 110
10 11 21 12 132
11 12 20 13 156
12 13 19 14 182
13 14 18 15 210
14 15 17 16 240
15 16 16 17 272
16 17 15 16 272
17 16 14 15 240
18 15 13 14 210
19 14 12 13 182
20 13 11 12 156
21 12 10 11 132
22 11 9 10 110
23 10 8 9 90
24 9 7 8 72
25 8 6 7 56
26 7 5 6 42
27 6 4 5 30
28 5 3 4 20
29 4 2 3 12
30 3 1 2 6
31 2 0 1 2
总方法数 3264
我们很容易看出规律，对于x+y=n的整数解是n+1种，不限制x，y的大小，当限制
x，y的大小时，也有规律，最大不超m的话，应为n-（n-m）*2+1=2m-n+1

不超15人的
A+B和值方法数 C+D和值方法数总方法
0 1 30 1 1
1 2 29 2 4
2 3 28 3 9
3 4 27 4 16
4 5 26 5 25
5 6 25 6 36
6 7 24 7 49
7 8 23 8 64
8 9 22 9 81
9 10 21 10 100
10 11 20 11 121
11 12 19 12 144
12 13 18 13 169
13 14 17 14 196
14 15 16 15 225
15 16 15 16 256
16 15 14 15 225
17 14 13 14 196
18 13 12 13 169
19 12 11 12 144
20 11 10 11 121
21 10 9 10 100
22 9 8 9 81
23 8 7 8 64
24 7 6 7 49
25 6 5 6 36
26 5 4 5 25
27 4 3 4 16
28 3 2 3 9
29 2 1 2 4
30 1 0 1 1
总方法数 2736

因为x+y=n的整数解非常有规律，当限制x，y不超某值m时，解数也有规律，所以
对于此类问题，都能很容易获得答案。

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