给蔡家雄老师的一封信

费尔马1

蔡老师您好：
我非常感谢您，因为您的勾股数通式最简捷，且为全部解，是我们中国人的自豪！
学生我仿照葫芦画瓢，写出以下勾股数的无穷公式：
设a∧2=u∧n*v∧n
则b=（u∧n-v∧n）/2
c=（u∧n+v∧n）/2
u、v同奇同偶，u＞v，n为正整数。
n=1 2 3 4……就得到无穷多个勾股数通式，但是只有n=1，2时公式为全部解，当n＞2时，所得的勾股数通式是部分解（也是无穷多解）。
老师您看看是不是啊？

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-15 20:09
程老师：你看一看

N, u, v 同为奇数 且 互质，（你认为不行，请举个例子？）

我白天上班没有仔细理解您的大作，评论有误，特更改：
蔡家雄勾股数通式：
a∧2=uv，b=（u-v）/2，c=（u+v）/2
u、v同奇同偶，u＞v。
①当a为奇数时，u、v同奇，这时要想得到最简勾股数，应u、v互质，可以得到所有的最简勾股数；
②当a为双偶数时，u、v同偶，这时要想得到最简勾股数，应u、v其中一个是双偶数（4k），另一个是单偶数（4k+2），且u、v除了因子2以外，剩余的其它因子互质，可以得到所有的最简勾股数，（注：a为单偶数时不存在最简勾股数）。
综合上述可知，蔡氏公式的每一步公式都可以求出所有的勾股数，这是两个勾股数通式，直角边一奇一偶。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2019-3-15 22:21
设 p 均为4k+1型素数，且互不相等，

则(p1)^2=a^2+b^2 有(3^1-1)/2 =1 组解，

非常感谢蔡老师！您太棒了，竟然找到了公共弦勾股数的个数公式！