数论难题

boob

有多少个正整数k，使得8^k+k是2^k+k的倍数？

奇数的世界

8^k+k=（2^k+k）A
8^k+k=A2^k+Ak
8^k-A2^k=(A-1)k
根据我的经验，k应该有无穷多个。

fungarwai

2^(3k)+k≡(-k)^3+k≡k-k^3≡0(mod(2^k+k))
k^3-k的零点只有-1,0,1
k≧10时2^k+k>k^3-k
只有k<10时k=1,2,4,6四个解

luyuanhong

楼上 fungarwai 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。