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高次廣義Kaprekar numbers的一些尋找結果

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发表于 2006-2-19 15:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
  

  所謂廣義Kaprekar numbers是指具有下述性質的正整數:
   45^3=91125,  9+11+25=45;
   45^4=4100625,  4+10+06+25=45
因此它又名「分和累乘再現數」。上例裡,45是同時是三次和四次的分和累乘再現數。要注意的是,分和時,所分割出的數的位數,除了最左端的一項,都須與原數的位數相同,而不許少於原數。例如:我們有
    243^4=3486784401,          34+86+78+44+01=243
粗看來和上面所展示的性質相同,然而243是三位數,這裡卻以兩位數的長度來分割243的四次方,這就不符本文的規定了。

  一般而言,除了僅由1和0構成的平凡解,次數越高的分和累乘再現數越稀有,但我們也很難肯定地指出到了某個方次,分和累乘再現數便不再存在。
  據個人以笨拙的計算工具尋找所得,五次的分和累乘再現數還是不少的,最小的一個是四位數7776:
    7776^5=28430288029929701376,   2843+0288+0299+2970+1376=7776;
在五位數中則找到三個:27100,73440,95120。不過六位數裡的五次分和累乘再現數更多,有七個:
      500499^5=31406 249062 033782 183750 002499
      505791^5=33102 095432 189229 078077 109951
      540539^5=46146 117682 034200 315812 026699
      598697^5=76919 315312 001453 031756 173257
      665335^5=130377 260305 079059 111219 084375
      697598^5=165206 120951 064038 339435 007968
      732347^5=210661 190534 180357 124288 026507
  個人也曾嘗試尋找六次分和累乘再現數的實例,但從一位數找至七位數,都找不到一個,要找到八位數,才終於找到一個:
64727568^6=7354205 10287688 10070052 11142669 22070330 03802624
      7354205+10287688+10070052+11142669+22070330+03802624=64727568
  七次的分和累乘再現數個人也很僥倖的在六位數裡找到一個:
 692900^7=76682 087899 306122 161297 060900 000000 000000
      76682+087899+306122+161297+060900+000000+000000=692900
  至於八次及以上的分和累乘再現數,個人還未開始去搜索,但相信以自己現有的笨拙計算工具,成功率會很低,偶相信,這應由各方高人接捧去做了。




  
发表于 2010-6-3 06:16 | 显示全部楼层

高次廣義Kaprekar numbers的一些尋找結果

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