从 1～30 中选六个数字，要求六个数字取以 6 为底的对数后加起来是整数，有几种选法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

数字可以重复选吗

luyuanhong

中国上海市 发表于 2016-6-11 15:17
数字可以重复选吗

按照彩票选号的规则，数字不可以重复选。

luyuanhong

六个数字取以 6 为底的对数后加起来是整数，实际上也就是六个数字乘起来是 6 的整数幂。

下面是用电脑搜寻得到的结果，其中：

六个数乘起来等于 6^4=1296 的选法有 1 种。

六个数乘起来等于 6^5=7776 的选法有 7 种。

六个数乘起来等于 6^6=46656 的选法有 22 种。

六个数乘起来等于 6^7=279936 的选法有 27 种。

六个数乘起来等于 6^8=1679616 的选法有 13 种。

六个数乘起来等于 6^9=10077606 的选法有 2 种。

符合要求的选法共计 1+7+22+27+13+2=72 种。

( 1 )  1  2  3  4  6  9 = 1296
( 2 )  1  2  3  4 12 27 = 7776
( 3 )  1  2  3  6  8 27 = 7776
( 4 )  1  2  3  6  9 24 = 7776
( 5 )  1  2  3  6 12 18 = 7776
( 6 )  1  2  3  8  9 18 = 7776
( 7 )  1  2  4  6  9 18 = 7776
( 8 )  1  3  4  6  9 12 = 7776
( 9 )  1  2  3 12 24 27 = 46656
(10)  1  2  3 16 18 27 = 46656
(11)  1  2  4  9 24 27 = 46656
(12)  1  2  4 12 18 27 = 46656
(13)  1  2  6  8 18 27 = 46656
(14)  1  2  6  9 16 27 = 46656
(15)  1  2  6  9 18 24 = 46656
(16)  1  2  8  9 12 27 = 46656
(17)  1  3  4  6 24 27 = 46656
(18)  1  3  4  8 18 27 = 46656
(19)  1  3  4  9 16 27 = 46656
(20)  1  3  4  9 18 24 = 46656
(21)  1  3  6  8 12 27 = 46656
(22)  1  3  6  9 12 24 = 46656
(23)  1  3  6  9 16 18 = 46656
(24)  1  3  8  9 12 18 = 46656
(25)  1  4  6  8  9 27 = 46656
(26)  1  4  6  9 12 18 = 46656
(27)  2  3  4  6 12 27 = 46656
(28)  2  3  4  8  9 27 = 46656
(29)  2  3  4  9 12 18 = 46656
(30)  2  3  6  8  9 18 = 46656
(31)  1  2 12 18 24 27 = 279936
(32)  1  3  8 18 24 27 = 279936
(33)  1  3  9 16 24 27 = 279936
(34)  1  3 12 16 18 27 = 279936
(35)  1  4  6 18 24 27 = 279936
(36)  1  4  9 12 24 27 = 279936
(37)  1  4  9 16 18 27 = 279936
(38)  1  6  8  9 24 27 = 279936
(39)  1  6  8 12 18 27 = 279936
(40)  1  6  9 12 16 27 = 279936
(41)  1  6  9 12 18 24 = 279936
(42)  2  3  4 18 24 27 = 279936
(43)  2  3  6 12 24 27 = 279936
(44)  2  3  6 16 18 27 = 279936
(45)  2  3  8  9 24 27 = 279936
(46)  2  3  8 12 18 27 = 279936
(47)  2  3  9 12 16 27 = 279936
(48)  2  3  9 12 18 24 = 279936
(49)  2  4  6  9 24 27 = 279936
(50)  2  4  6 12 18 27 = 279936
(51)  2  4  8  9 18 27 = 279936
(52)  2  6  8  9 12 27 = 279936
(53)  3  4  6  8 18 27 = 279936
(54)  3  4  6  9 16 27 = 279936
(55)  3  4  6  9 18 24 = 279936
(56)  3  4  8  9 12 27 = 279936
(57)  3  6  8  9 12 18 = 279936
(58)  1  9 16 18 24 27 = 1679616
(59)  2  6 12 18 24 27 = 1679616
(60)  2  8  9 18 24 27 = 1679616
(61)  2  9 12 16 18 27 = 1679616
(62)  3  4 12 18 24 27 = 1679616
(63)  3  6  8 18 24 27 = 1679616
(64)  3  6  9 16 24 27 = 1679616
(65)  3  6 12 16 18 27 = 1679616
(66)  3  8  9 12 24 27 = 1679616
(67)  3  8  9 16 18 27 = 1679616
(68)  4  6  9 12 24 27 = 1679616
(69)  4  6  9 16 18 27 = 1679616
(70)  4  8  9 12 18 27 = 1679616
(71)  6  9 16 18 24 27 = 10077696
(72)  8  9 12 18 24 27 = 10077696